Формула Остроградского

Оглавление:

Формула Остроградского

Уравнение Остроградского. В теории двойного интеграла мы хорошо знаем формулу Грина, которая связывает двойной интеграл по плоской области с Интегралом кривой по контуру области. Его аналогом в теории тройного интеграла является формула

Остроградского, связывающая тройной интеграл на пространственной области с поверхностной дробью на границе области.340ch тройной интеграл{380 Рассмотрим тело (Y) (рис. 59) ограничивается гладкими поверхностями (50 g=ha (x, y)) (52) g=2 (x, y)/цилиндрическая поверхность (53), генератор которой параллелен оси G. Предположим, что в области(V)

определены несколько функций (y, d), непрерывных с производной от всей области (V), включая ее Людмила Фирмаль

границы. Тогда есть выражение ^^д-^^aoig=^aahau, (Я) (5) Отчет) Кроме того, (5) существует поверхность, окружающая тело, и правый Интеграл простирается наружу от него. Фактически, согласно формуле (7а) n°378 щ$щ^^=уу^у д^г.== (Г (г)2О(ч, г)) — I и(x, y, 2 (x, y)) 4x(1U — \%(x, y, G0(x, y)) (1x<1U. (О) (о>) Учитывая долю площади поверхности, благодаря уравнению(3) и (для) n°372, Ì ì ì ì метод’g^Х^Л-У У Ж Х>У>2)г х л U, (в)(5″)151) Кроме того, первый из правых интегралов

распределяется на верхней стороне поверхности (52), а второй-на нижней стороне («Эд»). Добавление в правую часть интеграла Не нарушает равенства Я(х, г, ч Поскольку этот Интеграл равен нулю, он распространяется на внешнюю сторону поверхности (53) [n°372, (5)]. Если все три области поверхности объединены в одну, то Формула (1) является частным случаем Формулы Остроградского. Нетрудно понять, что Формула (1) применима к объектам более широкого

класса, которые можно разложить на изучаемые части [380]§2. Уравнение Остроградского 341 Мы также можем доказать, что Формула (1) обычно сохраняется для объекта, заключенного в любую кусочно-гладкую поверхность. Подобно выражению (1), Существует также выражение: Y Y d -^.М х м Л2=г р Юиг(2) (в)\$) У U в ых Ах!г г.=С<3YG ЛК,(3) (в) У45) И O непрерывно в области (V) вместе с d (e) И 3^. Если функция P является производной путем сложения всех выражений(1), (2), (3), мы приходим к общей формуле Остроградского: =S R Yu YH-f-0YH YH4-R y x Yu. (5) (4) Это вообще видимая плоскость второго типа, которая простирается наружу от замкнутой

поверхности, через тройной интеграл, который берется над объектом, ограниченным его поверхностью. С учетом поверхностной фракции первого типа получается другая, очень распространенная и легко запоминающаяся форма Формулы Остроградского: (В ) =(П-поп х — {- <2-поп / х я-поп V) (18,(5) (5) Где X, / l и V-углы, состоящие из n нормалей к поверхности (5)с координатными осями. Иногда Формула Остроградского ассоциируется с именем Гаусса. В Гауссе есть только очень специфические случаи этой формулы, и каждый раз ее вывод дается заново. В общем виде(4)

Эта формула впервые была дана Остроградским в 1828 году. Уравнения Грина, Стокса и острограсса Людмила Фирмаль

представляют собой Интеграл, распространенный на определенное геометрическое изображение через Интеграл, взятый вдоль границы этого изображения. В этом случае уравнение Грина составляет 342 глава XXIII. тройной интеграл [381 В случае двумерного пространства формула Стокса двумерна, но также и в случае «искривленного» пространства, а формула Остроградского — в случае трехмерного пространства. О основная формула интегрального б (Х) (1х=/(Б)—/(а ) Мы познакомим вас с аналогом этих формул для одномерного пространства.

Случай непериодической функции	Представление функции интегралом Фурье.
Замкнутость тригонометрической системы.	Основная лемма