Оглавление:
Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций.
- Уравнение Лейбница для n-й производной произведения двух функций. В то время как вышеприведенное правило расчета§6. Производные и дифференциал высшего порядка 217 Две функции(и±V) первая производная суммы или разности ‘^=и ‘±V’ легко
переносится (например, индукцией) в случае n — й производной (и±V)^n’ — и^N ‘>±V^N\трудно вычислить N-ю производную произведения второй функции и V’.
Соответствующее правило называется выражением Лейбница, что означает+C^ — ^’+C^n- Людмила Фирмаль
2>o<2>+C3pi{n~^+. .. +(5-47) Легко заметить закон, по которому строится правильная часть формулы Лейбница(5.47): она совпадает с формулой разложения бинома (Sch-C) p, VM esto step EN it и V s t o Это сходство становится еще более полным, если вместо функций и и V написать
соответственно»(0>и y (т. е. если считать саму функцию производной нулевого порядка). Формула Лейбница была доказана методом индукции. При N=1 эта формула принимает вид (CC)’=C’I+II’, что совпадает с приведенным выше правилом (в§4) дифференцирования произведения двух функций. Поэтому достаточно доказать его
- эффективность для следующего числа n+1, предполагая справедливость формулы для некоторого числа n (5.47). Итак, сделайте формулу (5.47)правильной для некоторого числа n. Попробуем выделить это выражение и объединить термины, которые стоят справа, как показано ниже: (И0 + [S°I<«>o’+S1pi^’]+[Syy»‘-1’^2’ + ] +
+ [S»I(p~2M3>+S^I (‘ , -2) GH3>]+… +(5.48)) (При этом мы воспользовались тем, что 1=SP°.)Для любого числа K, которое не превышает P, легко подтвердить, что формула выполняется (5.49) Чтобы проверить правильность формулы(5.49), обратите внимание на следующее т’то из письменных отношений следует 218 гл. 5. -!■ ■ ■ .(/! — тн4-2)(га-й — / -1)+п(п-1). ., (с-4-й-2) й p (с-1). . . (p-K4-2) [(GA-K4-1) 4-й ]_ — _ =(на4 * 1)п(—1). .. (Га-к+2) «к»-
Дифференциальный метод p-p Людмила Фирмаль
——————- y=S p+1′ Используя формулу (5.49), находим соотношение (5.48) (mA)4-S^+1 » =2, GL3)=C(4)=.., =0, то получим это(h2eh)(п)=exx2 4-х ПРОМАЛЬП+2х4-с»экс•2=е[Х2 4-2р+р(р-1)]. Мы предполагаем, что выражение Лейбница получено из всех других производных функции умножения, причем любая из функций умножения имеет lie con ech n OE h и slo otli CHN s x от N ula n R o и z V o d n s x.
Смотрите также:
Методическое пособие по математическому анализу
| Локальные свойства непрерывных функций | Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба |
| Механические приложения | Умножение функциональных определителей |
