Оглавление:
Формула конечных приращений для функций многих переменных
Формула конечных приращений для функций многих переменных. В частном случае выражения Тейлора (39.18) m \обычно называют выражением конечного приращения Лагранжа для функций некоторого variables. By говоря в предыдущем разделе теоремы 1 о предположении, что выражения(39.1) и (39.18) справедливы, мы получаем следующее утверждение из теоремы D: От 12 до 39.Формула Тейлора и ряд Тейлора функций многих переменных. Теорема 2.Если функция/(x1, x2) дифференцируема в каждой точке выпуклой области 0 c. и тогда. Каждая пара точек от 0(x } …. xn) и(x ^ + AX [, xn + Ade、） Есть такие 9, 0 9 1 −1 д} (Ху + 0 а,… П1 Хр + для Lhlбыл） АДГ;、 /(’Б. 4 алюм…, хп—Г)/(Д• * * * хп）〜 Или, короче говоря、 (39.24） Γ (x +X) Γ (x)= 2 «=1 ’ Где Х-(ХХ, хп), х-пэкс =(ХL,+ Ахх, что xn + AXN В) и ч 9 ад * (ху-Р 9 Аху, * • * | хп» я-9 Зуль).
Эта формула находит многочисленные и разнообразные приложения к различным вопросам математического анализа, а также общие формулы Тейлора. Людмила Фирмаль
- Выражение (39.24), как показано, называется выражением конечного приращения Лагранжа. Заметим, что теорема 2 не является частным случаем теоремы 1. Это связано с тем, что для этого требуется только Дифференцируемость, а не непрерывная Дифференцируемость функции в каждой точке множества O. однако доказательство теоремы 2 фактически включено в доказательство теоремы 1.
- Дело в том, что в случае m = 39.1, как указано в аннотации к доказательству теоремы 1 и ее следствий (см.§ 39.1), доказательство теоремы 1 выше справедливо в предположении теоремы 2, то есть в предположении только Дифференцируемости/(не непрерывной Дифференцируемости). В качестве примера применения выражения (39.24) докажите следующее утверждение: Теорема 3.Доказательство.
Если функция дифференцируема в каждой точке выпуклой области O и ограничивает частную производную от O, то функция является многомерной непрерывной в этой области. Людмила Фирмаль
- Если \ ТХ)я Да、1 = 1, 2,…н Ху I = 1 дБ） dh. X1-XI ; СПР(х’, х «） (c-константа) любые 2 точки =(x\,…X ’n) и x» = (*[,…, Xn), от(39.24) 39.3.Примечание по оценке остатков в Формуле Тейлора Тринадцать (Где| точка отрезка, который заканчивается в точках x ’и x’.) Следовательно, если задано e 0, то достаточно принять b=〜. Любая точка / eC и x «e 0(p (x’, x’), etc.). b, неравенство \ Р(х») ПХ ’)\ Р(39.25） А это означает равномерную непрерывность функции / области 0.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
