Оглавление:
Формальное и физическое понятие вероятности
- Статистическая физика использует широкий спектр идей, методов и математического аппарата теории вероятностей. Поэтому здесь необходимо пояснить этот последний пункт и найти его смысл, имея в виду приложение к задаче статистической физики. Как и все математические теории, современные математические теории вероятности построены на основе многих определений и аксиом, связанных с понятием вероятности.
Используя их, можно узнать вероятность определенного «события» (под событием мы подразумеваем сумму 1 или более значений * ) Гибб, Дж. В. Основные принципы статистической механики, — л.: Гостехиздат, 1946, Гл. Меня. * * ) Уиттакер В. Анализ динамики-М.; Л.: ОНТИ, 1937, гл. Я… XL Переменные — «случайные величины»), найти вероятность других событий. Вероятность события называется положительным числом и ограничивается частным случаем, когда случайная величина принимает конечное число значений, используя свойства, указанные здесь).
Следствие второго начала термодинамики, постулированного в указанных формулировках, позволяет ввести для термодинамических систем ещё одну функцию термодинамического состояния S. Людмила Фирмаль
Пусть переменная x принимает n значений: x,, xr,…. x (и ICh)является положительной функцией от x, а W (значение xC = 1; ICh) называется вероятностью значения x. SB r, pi,….. икс., Значение набора. Вероятность этого набора значений называется значением (3.1） SB ’и SB» 2 разных набора патчей (которые не имеют общего — «простые друг к другу») и^ ’ — это набор значений x? Х, р? Я,…а х?| И СБ «является набором значений З» я + ВХ » я + 2>••, x₄ₗ, и, очевидно, Ш(&)=число(& ’)+число (&) («теорема сложения вероятностей»).
Теперь предположим, что у вас есть 2 переменные. Переменные, принимающие значения x, xr,…, x», и переменной y, y, которая принимает значение y… то.., Далее, положительная функция (, y), и Вт (xₜ,yₖ)= л. В свою очередь, объем lV(x, y) называется вероятностью появления x, Y. вероятность набора значений V(х? То…, » ^ , 0^, это сумма (3-2） Для V-V ’+ V, 2 различных элементарных множеств V ГВ-ГВ’) + » Ш). (3.3)） * ) Колмогоров на основе математической теории вероятностей А. см. I/.
Основные понятия теории вероятностей — 2-е издание-М.: Наука, 1974, и С. Барнштейн. Теория вероятностей — 4-е издание-М.; Л.: Гостехиадат, 1946; Гнеденко Б. В. курс теории вероятностей— 5-ое■изд.- М.: Наука, 1969.Здесь мы приведем только следующие моменты, чтобы дать понять, что мы не ищем и не понимаем общего прозвища, прозвища строгости. Под «формой теории вероятностей». вероятность х называется величиной ^(х)= с (Зл） Условной вероятностью данного x y является величина Wₓ(г） (3.5） Если W, (y)не зависят от x, то случайные величины x и y статистически называются независимыми、 Ш(х, Г) — З, (х) Wₜ(г).
Эти положения (и обобщения на случайные величины, принимающие бесконечное число дискретных или непрерывных значений в пространстве любого числа измерений) и все выведенные из них теоремы называются «формальной теорией вероятности». Дело в том, что во всех приложениях понятие вероятности событий отождествляется с относительной частотой, возникающей при определенных условиях conditions. In формальная теория вероятностей, конкретное значение понятия вероятности является произвольным.
- Вероятность не связана с какой-либо частотой возникновения, поэтому, по сути, можно применить формальную теорию вероятности. Чтобы приписать вероятности значение, которое в целом не имеет ничего общего с частотой возникновения событий. Есть 2 способа решить эту проблему в приложении. Во-первых, с помощью каждого приложения можно определить значение многих понятий, таких как вероятность, условная вероятность, статистическая независимость и др.
Такой путь рассматривается в статистической физике для ограниченного круга задач; в классической статистической термодинамике этот путь изложен в§ 8 и 9. Однако более популярное и информативное решение этой проблемы можно получить и другим способом. Этот путь, который систематически проводит Мизес, заключается в том, что понятие вероятности событий уже в рамках математической теории связано с относительной частотой возникновения во всей последовательности событий. Тем не менее, вы столкнетесь с серьезными математическими трудностями в осуществлении этой идеи, но вы можете четко преодолеть их.
Чтобы применить эту теорию к задачам физики (и других конкретных наук, таких как биология), однако, необходимо сделать еще один важный шаг-придать определенный смысл понятию вероятности. Людмила Фирмаль
Главное-это понятие»команда«.Набор представляет собой бесконечную последовательность значений 1 переменной (или нескольких переменных) со следующими 2 свойствами. i. первые n элементов последовательности n (z) элементов, которым соответствует значение переменной x, имеют предел Вт(х)= (3.6） Или, для 2 переменных, предел Ш(х, г)= Лим 21 ^、 Это называется вероятностью значения x. 2.Существует ограничение на выбор «подпоследовательности» n ’ для элементов, входящих в последовательность n Ш ’(х〜) — Лим Больше (3.6 а） (3.66） Это 2-е свойство является случайным выбором [151.
Поэтому при таком подходе вероятность всегда характеризует определенную «команду», и каждая операция над вероятностью соответствует построению новой команды в соответствии с определенными законами. Например, при переходе от одного агрегата к другому вероятность приобретает агрегат, равный сумме первого, так как элемент является совокупностью элементов первого агрегата. если x принимает последовательность значений с заданными значениями из множества 2 переменных x, y, то легко показать, что эта новая последовательность также является множеством, поэтому вероятность равна условной вероятности и ’(Y).
Такая постановка задачи сразу связывает вероятностное понятие с частотой встречаемости, что дает возможность четко сформулировать проблему во всех вопросах, к которым применяются эти понятия. Вероятностные понятия применяются к явлениям, которые повторяются бесконечно при определенных неизменных условиях. Порядок наступления того или иного события в этих условиях считается коллективным и, следовательно, открывает возможность применения теории вероятностей к конкретной задаче. Квантовая механика уже имеет понятие вероятности, которое имеет именно такой смысл.
Поэтому квантовая механика, основанная на квантовой механике, также обязательно основана на такой идее. Статистическая теория процессов, например, в теории широкого движения используется понятие переходных вероятностей, а понятие статистической независимости используется в основном. Все эти понятия могут иметь определенный физический смысл. Только тогда, когда понятие вероятности ассоциируется Последовательность событий носит коллективный характер.
Смотрите также:
| Уравнения Гамильтона. Фазовое пространство | Совокупности систем |
| Теорема Лиувилля | Термодинамическое равновесие. Внешние и внутренние параметры |
