Физические приложения кратных интегралов

Оглавление:

Физические приложения кратных интегралов

Физические приложения кратных интегралов. Вы можете использовать несколько интегралов для вычисления различных физических величин. Масса и заряд тела, центр тяжести, момент инерции, поток жидкости, потенциал тела и т. д. В качестве примера давайте найдем центроид плана этажа. Вообще говоря, мы используем переменную поверхностную плотность p (x, y) для распределения некоторой массы на некоторые 4 делимые области O. область, где распределена масса, C, называется рис. 8, а сумма равна М-р(х, г)ых ю(49.2） О -Его масса. Если p (x, y) не совпадает с нулем, M 0. Определите и найдите центр тяжести на рисунке 5.Домен O раздел m= {0、}、1 = 1、2、…возьмите, k (см.§ 44.3).Плотность массы p (x, y), (x, y) 分布 o, распределенная в множестве o, o, называется фигурой, а некоторая точка (k, M1, −1)∈o, выбранная по -.

Вообще говоря, мы используем переменную поверхностную плотность для распределения некоторой массы на некоторые 4 делимые области O. Людмила Фирмаль

Размер t; = p (5, -, mp) pOr называется приблизительным значением массы на рисунке 5. (Естественность этого названия практически отсутствует 49.2.Физическое применение кратных интегралов 231. Дует из Формулы (49.2). значения mk и r находятся по отношению к осям Oy и Ox соответственно, рис. 8b = 1,…называется аппроксимацией статического момента k (естественность этого названия состоит в том, что статический момент материальной точки массой m называется величиной tu и tx относительно координатных (x, y) осей Ox и Oy.§ 32.6).Наконец, количество К. 5,(м)= 2 ТРТ; = 2 Гб(в, C;) п у、 1 = 1 1 = 1 * * (49-3)） 8У (м)= 2 и M = 2&п (б, у) по、1 = 1 1 = 1 Для осей Ox и Oy называется примерный момент t на рисунке 5, а их пределы устанавливаются равными 0 Золото 5 *(g)= 5 *, золото 5″(x)= 5″ 6Т-0 Вт-о Рисунок 8 статические моменты для осей Oh и Oy.

Эти ограничения существуют в соответствии assumptions. In факт, из Формулы (49.3), 5 (m) и 8y (% ) являются римановыми интегралами функций ur (x, y) и xp (x, y), и поэтому、 •$ А = $ УР(Х, У) ух ый, 8У = ^ $ хр(Х, У) ух ый. (49.4） О, да. Определение 1.Точка (x0, y0), называемая центроидом (|центр тяжести, центр инерции) на рисунке 8, равна массе всего рисунка 8, где статический момент к координатным осям точки (x0, y0), расположенной в точке M, соответствует статическому моменту рисунка 8. МО = Цу, Муо = 8х. Из формул (49.2) и (49.3)、 \ ^ хр(Х, Y) аж ах($ Р(Х, Y) аж ах х°)р(х, г) ах-ах -) р(х, у) ах ’о ’ о’ Упражнение 2.Докажите, что центроид фигуры не зависит от выбора системы координат. В качестве примера рассмотрим «криволинейную трапецию» 0, порожденную графом непрерывной неотрицательной функции. С = {(Х, Y).х / б,§(х) г!(Икс.) § 50.

Объем вращателя плоской фигуры вокруг оси, не пересекающейся с ней, равен произведению площади этой фигуры на окружность, которая описывается центром тяжести этой фигуры. Людмила Фирмаль

Элементы теории поверхности 232. пусть P (Х, Y)= 1.$ $ хх гг = плечами QC1、 О Б {(х) б хо = ^ о ^ xyhyu ^-^ xyx ^ 1У = ^ § \ НХ) ё(Х)] ххх、 0 А Е(Х) Б их) б У0 =±$$ yyhyu =±$ ых / г Лу = Н§[?2(х) § 2(х)] Т; Отсюда б, б. \ 2n0 1Б-я ^ П(Х)ух-я ^§ 2(х)ух. Но… Но… АА е.() в Здесь, справа от уравнения, находится объем объекта, полученный вращением изогнутой трапеции O вокруг оси X. Дошла до 2-й теоремы Гурудина. Теорема (Гульдин).Образцы. Используя теорему 2-го Гульдина, вычислите объем полученного Тора 2 (x-a), 2 + yr2, 0 m ^ a, вращающегося вокруг оси Oy, 5. rf =2na * π2=2n2a2. Упражнение. Найдите массу плоской фигуры, окруженной линией. 3. У2-2х, х + у = 4,/ 3 = 1; Р(К, Г)= х + г 4. у = 2х, У-2,у = 4х-2; р(х, г)= 2 \ х \ + \ у . Найти статический момент относительно осей координат в однородном плане (p = p0 = const1), разделенном заданной линией. 5.У2 = 4х, х + у = 3, х-0 6. y = x3, x + y-2, x-0. Найдите координаты центроида плана, окруженного указанной линией. 7.Х2-\ У2-4, Х2 + У2=\, г> 0; р = Р0 = const1. 8. У2 = 4х, У = 2,х = 0; р(х, г)= х. 9. R-V2, r = 2 8 Wφ(0 r2фге / / 2, r < VY), p = P0 = const! (r, Phi является полярным.) 10.х = Асо&(у = а $ м3 я, г = 0(0 =〜;? =〜; Л), р = Р0 = const и.

Несобственные интегралы от функций, меняющих знак.	Понятие поверхности.
Вычисление площадей и объемов.	Эквивалентные отображения. параметрически заданные поверхности.