Оглавление:
Эквивалентные бесконечно малые функции
Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль той функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка кому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть 
и 
есть б.м.ф. при 
, т. е. 
и 
.
1. Если 
, то 
и 
называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если 
, то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .
3. Если 
, то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .
4. Если 
не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при 
, 
.
Пример №18.1.
Сравнить порядок функций 
и 
при 
.
Решение:
При 
это б.м.ф. одного порядка, так как
Говорят, что б.м.ф. и одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.
Дополнительные примеры:
Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Если 
, то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при
); это обозначается так: 
.
Например, 
при , т. к. 
при , т. к. 
.
Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Пусть 
и 
при . Тогда
т. е. 
Очевидно также, что 
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Пусть при . Тогда
аналогично 
Справедливо и обратное утверждение-. если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то и — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как 
, то 
, т. е. 
. Отсюда 
, т. е. . Аналогично, если 
, то .
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Докажем теорему для двух функций. Пусть 
при , причем — б.м.ф. высшего порядка, чем , т. е. . Тогда
Следовательно, 
при .
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример №18.5.
Найти предел 
.
Решение:
, поскольку 
и 
при .
Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида 
часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, 
при , 
при . Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
Пример №18.6.
Покажем, что 
при .
Решение:
Дополнительные примеры:
Приближенные вычисления
Если , то, отбрасывая в равенстве 
бесконечно малую более высокого порядка, т. е. 
, получим приближенное равенство 
.
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.
Приведенные формулы справедливы при малых 
, и они тем точнее, чем меньше
.
Например, графики функций 
и 
в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая 
в окрестности точки 0 сливается с прямой (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.
Пример №18.12.
Найти приближенное значение для 
.
Решение:
. Для сравнения результата но таблице логарифмов находим, что 
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
