Оглавление:
Эйлеровы интегралы
Эйлеровы интегралы. Рассмотрим Интеграл Один Б (п, п)= $ хр-р (1-х) ч-р ух, (54.35） О 4-с Р(5)= ^ Х5〜 * е-X ух, (54.36） О Они называются интегралами Эйлера видов 1 и 2 соответственно. Интеграл(54.35) также называют бета функцией, а (54.36) гамма-функцией. Во-первых, проясните значения параметров p, p и 5, для которых правые части формул (54.35) и (54.36) имеют смысл. Сначала рассмотрим Интеграл (54.35). в общем случае подынтегральная функция имеет 2 Характеристики: если x = 0 и x = 1, то она выражается в следующем виде: 1/2 1 Б(р, 7)= / хр-1 (\х) д-р т + к xp_1(1-х) 1-1s1x. Сравнение первого интеграла справа и интеграла) xp ^ xx,^ o А во 2-м §(1-x) 7Lx, соответственно, сходятся 1/2 если p 0 и p 0, а следовательно, расходятся при выполнении неравенств p = ^ 0 и pe> 0 (см.§ 33.3), то область бета-функции плоскости p ,p (54.35) является прямым углом p 0, p 0.
Для 2-го интеграла в правой части уравнения (54.37) он сходится при всех значениях S. Людмила Фирмаль
- Кроме того, Интеграл B (p, p) сходится равномерно к каждому прямому углу p, p p, независимо от p0 0 и p0 0.In фактически, это неравенство соответствует критериям Вейерштрасса (см.§ 54.1). хр-1(1-х)?_ 1r ^ xp° «1 (1-x)^» −1, 0×1, и сходимость интеграла 1 была доказана выше Б(Р0, х0)= \ хр * х(1-ху°-1 ух, Р0 0,Р0 0.о Все точки(p, p), p 0, p 0 принадлежат определенному углу. при правильном выборе p p0, P Po, чисел p0 0 и p0 0, с теоремой 5 раздела 54.3, функции B (p, p) непрерывны во всей области определения. 54.5.Интеграл Эйлера Чтобы найти область определения гамма-функции (54.36), представим ее в виде 1 +00 Г (5) = $ V «-geXxx+ ^х*1е-х(1х.(54.37)） 6/1 Я Если мы сравним первый член справа с Интегралом§x8-xx、 О Он сходится на 5 0 и расходится на 5MS0. §x * e-x (где 1x сходится и расходится для одного и того же значения Параметр 5.
Это, например, вытекает из справедливости уравнения xco x8 1e-x = o (e〜x / 2) из 5 и из сходимости интегралов {ОО 1 $ e-x / 2s1x = 2e 2.So Интеграл (54.36) равен Я Все расходятся с 50 и 5r = ^ 0. Х8-1egx-с;. X51 с программным обеспечением-1е-х、 Х * 1е-х И для x + 1、 Здесь мы покажем, что интеграл (54.36) сходится равномерно во всех сегментах[5b 52 0 01 52 −1-на самом деле, скажем, 51 ^ 5J ^ 52. 0 = = 2x ^ 1、 1 ОО Интеграл \ x3 ^ ge-xc1x и§x3 > 1e, потому что xc1x сходится, 6 из 1 Как и в Формуле (54.37), по критерию Вейерштрасса для равномерной сходимости интеграла (см.§ 54.1) следует равномерная сходимость интеграла Γ (α) интервала[5X,$ 2]. По теореме 5 54.3 это означает, что функция Γ(5) непрерывна во всей области определения. Упражнения 15.Функция B(p, (?И докажите, что Γ (α) бесконечно дифференцируемо. Выпуск 33. Б(р, (?(А) и Γ (5) оказываются аналитической функцией.
- Установите некоторые свойства интеграла Γ (5) и B (p, p). Во-первых, получить его непосредственно из Формулы (54.36 Г（5）0（5 0）、（54.38） В частности, в гамме нет нуля function. In кроме того, при интеграции в компоненты、 [ОО [Х4-х Γ (5 + 1)= = ^ xxe xs1x =-x5e x +5 $ x ^phi+ x = 5Y(5). (54.39） 0, 0. Одиннадцать * § 54.Частичный Интеграл в зависимости от параметров 324. Итак,$ n (n = 1, 2,…в случае、 Г©=(5-1)(5-2)…(с-Я) Г(5-н). (54.40)） Для любого 0 выберите неотрицательное целое число n, 0 5-n ^ 1(n-0, 1, 2,…), А используя формулу (54.40) гамма ()) можно выразить в терминах gamma. It работает в некоторой точке интервала(0, 1).Также отметим, что по формуле (54.40) Γ (1)= 1. Г(я + 1). Это связано с тем, что Гамма-функция Gamma (5 + 1) имеет 5-1 действительных чисел 5 = 0, 1, 2,…Функция 5 определена только для.
Другими словами, если вы знаете значение гамма-функции в интервале (0, 1], вы можете найти это значение в любой точке. Людмила Фирмаль
- Это является продолжением из характеристик функций gta B (p, c/) докажите следующее: 1. П 0 и П 0 Б(п, п)= б(п, п). (54.41） Для подтверждения этого достаточно заменить переменную I-1-x на Интеграл (54.35). 2. О Р 0 и Р 1 (54.42） В(P, 7)= ^?^ ТБ(п, п-1). Аналогично, по симметрии (см. (54.41)), p 0 и p 1 Б(р, ч)= б(п-1, п). (54.43） На самом деле, интегрированный в частях (54.35) и xp (1-x) h〜2 = xP «1 (1-x)?2-XP-1 (1-x) 4-1, получаем 1. о / \ Т / 1 / 1л хр хр (\х） Один ^ хр(1-х） ч-2 раза-4-1. ^ хр-р (\х) ч-2yxБ(р, ч)= (1-х ^ ч = р | 0 + 4-1. ^ хр-1(1 » х) 9-Р топор = б(п, п-1) ^ б(п, п）、 Оттуда(54.42), благодаря симметрии (54.43). 3.Любой p 0 В. ^ rDULr + Д). ’» = / .’г’ 54.5.Интеграл Эйлера Триста двадцать пять Эта формула получена последовательным применением Один Обратите внимание только на решение(54.42), B(p, 1)= Cp〜1c1x -. О Однако если p = m-натуральное число, то B (n, n)=•существует связь между функциями B (p, ( / ) и Γ ( $ ), которая устанавливается формулой Эйлера. Б(П= Р 0,Р0.(54.44） Докажите это следующим образом.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
