Единственность непрерывного упорядоченного поля.

Единственность непрерывного упорядоченного поля.

Единственность непрерывного упорядоченного поля. Множество вещественных чисел является, в некотором смысле, единственным непрерывным упорядоченным полем, или, точнее, единственным полем с точностью до изоморфизма. Пожалуйста, объясните, что это значит. Для любых 2 элементов x∈T и y∈T, если условие T имеет 1-к-1 отображение A в поле T, то 2 поля T и T называются изоморфизмами. ф(х + г)= а (Х)+ ф(г), Ф(Х)= ф (х)/(г). В этом случае отображение A называется изоморфизмом или изоморфизмом. Короче говоря, 2 поля называются изоморфизмами, если одно сопоставляется с другим (omnisame) по 1: 1, сохраняя при этом сложение и умножение этих элементов. Если поля T и T упорядочены, и изоморфизм присутствует Отображение поля T в поле T, содержащее отношение порядка, то есть любые x∈T и y∈T если x y, отношение a (x) a (y) выполняется, то поля T и T называются полями изоморфного порядка. Докажем, что множество действительных чисел однозначно определяется системой аксиом I-V (см.§ 2.1) вплоть до природы элементов.

Все поля последовательного порядка гомоморфны друг другу. Людмила Фирмаль

• Доказательство. Предположим, вам даны 2 последовательных упорядоченных поля K и K. соответствие между элементами x€K и x€K последовательно установлено. Это соответствие обозначается через A. каждое из полей K и K имеет 0 и 1, и K и 0 и 1, и K и 0 и 1 соответственно. Назначьте от 0 до 0 и от 1 до 1. A (0)= * 0 *,A(1) 1 *. (3.31) установленные соответствия/равны 1 к 1, каждый целочисленный элемент поля K, m> e ^that Ноль 0, n = 1 + 1 +•••+ элементы вида 1 или-N. равенство（3 ^ 31）-（3 ^ 33）поле K связано с целочисленным элементом. Таким образом, устанавливается соответствие отображения/ 2-к-1 между набором из 2 и 2 целых элементов Поля K и K•это соответствие сохраняет отношение порядка. Для 0 T p. соответствие(3 ^ 33) также сохраняет порядок для всех целых элементов любого знака^ Операции сложения и умножения также сохраняются. Следующее равенство имеет место для 2 и 2 евро. если M = 0 или n = 0, то соотношения(3.35) и(3.36) являются очевидными. Чтобы доказать соотношение(3.36)、 Как и все упорядоченные поля в целом, поля K и K0 имеют понятие абсолютных значений элементов, а отношения допустимы для их умножения. Если случай (3.39) приходится на коэффициент m, n€2, то по (3.33) тот же случай приходится на коэффициенты f (m), A (n).、 (3.32).

• Если знаки факторов m и n различны, (3.32) и (3.33), то A (m) и f (n) также являются различными знаками. Следовательно. Здесь (как легко это проверить) / сопоставьте поле^всех элементов рационального числа в поле К Это соответствие всех рациональных числовых элементов в поле^поле K является изоморфизмом упорядоченных полей^и^. фактически, в случае td V pr, по(3.34), f (td) V Dpr), откуда /(м) /(\) в/(н) / (р) соответственно. Для рациональных числовых элементов с произвольными символами сохранение отношений порядка при отображении/осуществляется с помощью (3.44)-(3.45) и Есть также около^ ^и\^.иррациональный элемент или элемент, который не является рациональным, определяется Разделом в области рационального элемента, и из-за изоморфизма между множеством рациональных элементов^и^, существует также соответствие 1-к-1 между этими разделами. Да, если A / B является разделом)| /(B) является разделом^, поэтому была установлена связь 1-к-1 Указывает, что между всеми элементами полей K и K, а также порядок сложения и умножения элементов и отношения между операциями сохраняются.

Доказано, что множество вещественных чисел не может быть расширено до больших полей непрерывного упорядочения при сохранении соотношения операций упорядочения и сложения-умножения. Людмила Фирмаль

• То есть изоморфизм поля K. Для данного множества X c^ множество рациональных чисел r, в котором X∈X существует для всех r∈A, является r x, B = ^ \ A, множество A и B образует сечение A | B поля^.、 8ir X = 8ir A = A / B. аналогично, аналогичная зависимость доказана для нижней стороны.Сначала сформулируем 1 Определение. Если это подмножество само является полем из-за операций сложения и умножения элементов поля P, то подмножество поля P называется полем GAO darece P. подполе поля называется соответствующим, если оно не соответствует всему полю. Подполя упорядоченного поля с упорядоченной связью, порожденной связью упорядочения полей, называются одиночными рядами юбок одинаковой длины. Например, каждое рациональное числовое поле является собственным упорядоченным подполем каждого действительного числового поля. Обратите внимание, что нулевые и 1 единицы подполя некоторых полей равны нулю и 1 единице поля. Фактически, пусть P-подполе P, а 0 и 0-ноль подполя.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Принцип Архимеда.	Определение предела числовой последовательности.
Принцип вложенных отрезков.	Единственность предела числовой последовательности.