Движение несвободной материальной точки

Движение несвободной материальной точки

• Как уже известно, фундаментальные законы динамики несвободных материальных точек и, следовательно, дифференциальные уравнения движения имеют тот же вид, что и в случае свободных точек, и на точки действуют только силы реакции связи. Будет добавлено в. Естественно, что в этом случае сила реакции связи известна заранее, и ее необходимо дополнительно определять по данной связи, наложенной на точку движущегося материала, что позволяет решить первую и вторую основные проблемы динамики.

В некоторых случаях движение точки может вызвать соответствующую особенность. При решении первой основной задачи динамики результирующая сила, действующая на точку, определяется движением точки, заданным из дифференциального уравнения этого движения. Эта результирующая сила затем отделяет силу реакции связывания для конкретной связи. Поэтому проблема разбивки известной силы на ее составляющие. Обычно полная сила реакции движущейся точки разбита на две составляющие.

Эти два явления описываются умножением всех сходств и моментов времени на коэффициент сходства, который исходит из одного значения. Людмила Фирмаль

Объединенная составляющая силы реакции, которая уравновешивает данную силу, приложенную к точке, называется статической силой реакции. Другая составляющая общей силы реакции зависит только от движения точки под действием данной силы и называется динамической силой реакции. Баланс инерции движущейся точки. При решении второй основной проблемы динамики, когда необходимо определить движение свободной точки в соответствии с заданной силой и начальными условиями, некоторые из сил, действующих на эту точку, то есть все реакции связывания Сила заранее не известна и должна определяться данной связью В процессе решения проблемы.

Таким образом, вторую основную проблему динамики несвободных материальных точек можно сформулировать следующим образом: Учитывая силы, начальные условия и ограничения, накладываемые на точку, определяют движение этой точки и силу реакции связи. Рассмотрим решение этой проблемы для движения точек и кривых на поверхности. Дифференциальные уравнения представлены в системе координат, которая лучше всего подходит для конкретной задачи. Анализировать постановки задач и решения в декартовых декартовых системах координат. Движение точки на поверхности Дайте гладкую, неподвижную поверхность, где точка массы m движется под действием заданной силы r с уравнением f (x, y, z) = 0. Где x, y и z — координаты движущейся точки.

Поскольку поверхность мишени гладкая, сила трения отсутствует. Выражая N как неизвестную нормальную силу реакции на поверхности, мы получаем следующее дифференциальное уравнение для движения точки на поверхности: w ^ = Tx + A ‘<; m ^ = F + N-m ^ = Fz + Nt (17) dr2 xЛdr’ ‘dr Из дифференциальной геометрии мы знаем, что косинус внешнего нормального угла к поверхности и координатной оси, а следовательно, и силы N, параллельной основной нормали, можно рассчитать как где потому что Вот так Nx = Ncos (N, » x) = -; ‘> bfdx N = 7 Vcos (A?, Av) = -y y bfdy ‘ Nx = Ncos (N ^ z) = ^ — ^. (18) Укажите X = N / bf и подставьте значения Nx, Ny и Nx из (18) в (17) следующим образом: Эти дифференциальные уравнения называются лагранжевыми дифференциальными уравнениями первого порядка для движения несвободных материальных точек.

Эти три дифференциальных уравнения и одно конечное уравнение — поверхностное уравнение f (x, y, z) = 0 — вы можете найти четыре неизвестных — координаты и время точек x, y, z и любой интеграл Неопределенный множитель Лагранжа X как функция постоянной. Любая константа определяется из начальных условий. Из найденного неопределенного множителя Лагранжа X можно легко определить поверхностную силу реакции N = X & /. Как правило, это зависит от времени. = Если поверхность не является гладкой, в дополнение к нормальной силе реакции, будет действовать предельная сила трения Fmai.

Эту проекцию трения следует добавить в правую часть дифференциального уравнения движения точки. Это дополнение усложняет решение проблемы, но проблема принципиально разрешима. Это связано с тем, что с добавлением неизвестной силы добавляется конечное уравнение, которое связывает эту силу с нормальным откликом. Где k — коэффициент трения. Поскольку сила трения скольжения всегда противостоит скорости, проекция этой силы на оси координат может быть выражена как: F max = -Lpax COS (t>, Ax) = -Fraax Как хорошо С учетом сил трения задача интегрирования дифференциальных уравнений движения несвободных материальных точек становится очень сложной.

• Перемещение точек по плавной кривой Кривая с фиксированной линией в пространстве может рассматриваться как пересечение двух поверхностей. j \ (x, y, z) = 0 и f2 (x, y, z) = 0. Эти поверхности создают два нормальных отклика N и N2 на движущуюся точку, поэтому полный отклик кривой линии равен N = N2 + N2. Дифференциальное уравнение Лагранжа для первого типа движения точки вдоль кривой имеет вид каждый Добавление двух конечных уравнений поверхности fi (x, y, z) = 0 и f2 (x, y, z) = 0 к первому виду дифференциального уравнения Лагранжа (19) дает пять величин x, y, z В зависимости от времени вы получите пять уравнений для определения X2.

Так что в этом случае задача может быть решена. В принципе, это можно определить с учетом силы трения. При рассмотрении этой проблемы, если для координатных осей используется естественная ось, дифференциальное уравнение для движения точки вдоль гладкой кривой принимает вид: m ^ = F ;; w- = F „+ Nn; 0 = K + AL dz2Чр ■ И> 0 0 Где Et — проекция силы F на касательную. Fn и N „-Проекция сил на главную нормаль. Fb и Nb —Проекция сил на бинормаль. P — радиус кривизны кривой. Из первого дифференциального уравнения системы (20) мы можем найти закон движения точки и, следовательно, скорость точки v, независимо от двух других уравнений.

Используя теорему Резаля для решения задачи о поведении оси такого гироскопа, можно определить вектор момента движения по известному главному моменту внешней силы. Людмила Фирмаль

Оставшиеся два уравнения (20) могут затем использоваться для определения проекции неизвестного нормального отклика N на основной и субнормальный. Пример. Точка массы m (рис. 13) движется вдоль внутренней части поверхности сферы радиуса R, близкой к устойчивому положению равновесия под действием силы тяжести. Первый момент = = 0 x = x0, y = 0, t \ = 0, »=» о-Ос * O Oz (20) Вертикально вниз, Oh и Oy находятся в горизонтальной плоскости. Происхождение находится в центре сферы. Определите движение точки и силу реакции абсолютно гладкой сферы на точке. Эта проблема известна как проблема шарикового маятника.

Решения. Форма дифференциального уравнения для движения точки на поверхности сферы имеет вид (А) X = N! Bf. К дифференциальному уравнению (а) нужно добавить уравнение связи, то есть уравнение для поверхности сферы / (X, y, z) = «2- (x2 + y Формула (а) Значения производных df / dx, df / dy и df / 8z. Их = -2Xx; tu = -2Xu; mz = -mg — 2’kz. (А ‘) Интегрировать эту систему. Для этого обычно из этих уравнений Неизвестный X полностью исключен, потому что его производная не включена в уравнение (a ‘). Одновременные уравнения трудно интегрировать. Интегрировать примерно. Чтобы получить первое приближение, сохраняйте в уравнении только первую степень x / R, yl или игнорируйте эти квадраты в выражении z. -V * 2- (x2 + y2).

Бином, мы получаем Разложить это выражение Предположим, что z = R mg-2XR = 0 в третьем уравнении (a ‘) системы. k = мг / (2R). N-Xh f = мг. Подстановка значения X в первых двух уравнениях (a ‘) системы дает Каждое из решений этих дифференциальных уравнений (см. § 7. Пример 1 выше) зависит от двух интегральных констант и имеет вид x = c, sin (x / i7 «» + c2); y = c3sin (7F7Kz + c4). (В) Дифференцируя их по времени, * = C> x / jf7 «cos (y ^ 7s / + C2); y = Czj / <7Lco8 (V7 / A» + C4).

Используя начальные условия (b) и (c), существует следующее уравнение для определения констант интегрирования Ct, C2, C3, C4. = C3sinC4;) = C) y / г / RcosC4. ) C4 = 0, C2 = π / 2 вне системного уравнения (d) Четвертое выражение, Cj = «бык / * 7» — принимать В поисках урана (G) х = ксосин (, / г / 7ff); Если время / исключено из уравнения движения, получите уравнение точечной траектории в координатной форме. x2 / xj + gy2 / («^) = l; 2 = I.

То есть принятый примерный локус — это эллипс в плоскости: центр Вы не должны думать о системе. | Точно реинтегрировать в условия первого порядка z = 0 Если вы интегрируете уравнения до заданных слагаемых и получите решение в качестве первого приближения, вы получите открытую кривую, близкую к эллипсу на первом повороте, а не к эллипсу. Движение по такой открытой кривой может быть воспроизведено, если полученный эллипс вращается равномерно в сторону с постоянной скоростью

Смотрите также:

Задачи по теоретической механике

Основные виды прямолинейного движения точки	Движение точки по поверхности
Криволинейное движение материальной точки	Движение точки по гладкой кривой линии

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.