Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости

Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости

Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости. Докажите 2 полезные леммы о производной векторной функции. Лемма 1.Пусть векторная функция r (I) имеет производную в точке 10.Если длина вектора Р (/) постоянна в окрестности точки 10, вектор Р ’ (/0) ортогональна к вектору р (10). Proof. As гипотеза, существует окрестность точки 10, где длина вектора r (1) постоянна. \ r (1)\ = c, где c a constant. So, для каждой точки в этой окрестности существует\ r (1)\ 2-c2, и поэтому r2 (1)= c2.Если вычислить производную функции r2 (I) в точке / 0, то получим (см. 15.2) 2r (10) r ’(10)= q(17.1). Тс Физическая интерпретация этой леммы заключается в том, что если точка материи движется так, что она всегда остается на поверхности сферы, ее скорость перпендикулярна радиус-вектору, поскольку она касательна к этой сфере.

Если векторная функция непрерывна в точке, то условие неравенства радиус-вектора равно нулю Людмила Фирмаль

• Если функция r (1) определена в окрестности V (10) точки/ 0, и эта окрестность r(1) Φ0() r(I) в достаточно малой окрестности точки (10) всегда может быть достигнуто перемещением предположим, что I = / 0 + D ^ e1 /(Y и φ=φ (1) углы между векторами r (10) и r {1) (выраженные в радианах)| ρ| =я, и ρ (φ) для 0, предположим Д^ 0 для φ»^ 0.In очки/ 0 Для приращения Δφ функции φ、 Определение 1.Производная называется скоростью вращения векторной функции r (1) в точке / 0 и обозначается через co = co(/ 0; r(1\ Если выбрать противоположный критерий угла, то есть определить угол между вектором r ((0) и r (I) как угол φ= φ, то очевидно.

Итак, как для 10, так и для 1 критерия угла φ между векторами r (1) и r (1), всегда Лемма 2.Определите векторную функцию r (0) в окрестности точек{r (10) Φ0.Тогда, если есть производная r (10) в точке 10, то есть и скорость вращения ω=в этой точке. Следствие: в дополнение к условию леммы, если длина вектора r (() постоянна, если\ R (1)\ = r, то r-константа、 Доказательство. Из за наличия производной r ’(10) функция r (1) непрерывна в точке 10.Это следует из условия r (10) Φ0 для всех достаточно малых b. поскольку выполняется неравенство r (10 > 1) Φ0, то угол Af между вектором r (10) и вектором r Точки функции r (1) (0 Также следует*) и непрерывность функции p в точке 10 (0, то есть (Как обычно, A1-1-u, Acr = cp <sup class=»reg»>®</sup>— cp(4)=φ ()), потому что φ(0 0)= 0).

• Чтобы вычислить производную (17.2), бесконечно малый Af эквивалентен бесконечно малому эквиваленту бесконечно малого. Афсррпри?? Заменить на 0 (см. лемму 2.8). Это, например,$φ= Теорема 2 приводит к разделу 8.3 о замене бесконечного числа десятичных знаков в вычислениях на эквивалентное Опять же, была использована непрерывность векторной функции r(I) 10 баллов. ПТГ(10 + А/) = Р(10). Кроме того, функция r(1) дифференцируема в этой точке! И затем р(10 + А0 = Ф• (*О)+ Р ’(10) М + 8(А /)М、 Где R(M)=0.(17.5) заменить r {10XpM) следующим выражением \ Р Ц0) ХС (*0)| = 0 и PM \ р(10) ХС (а ()= 0 Доказательство, конечно. Если| r (() / = r-константа, то по Лемме 1, r () ’ (/0)= 0, т. е.| r C0) / g ’((0) / cos gg’ = = 0. так как угол r ’между g ( *» ) / φ0, то r ’(10)\ = 0, или вектор r (0) и f’ ’ (f°) равен±l / 2、 1ш гг ’ / = 1.In оба случая | | / р (п)) ХС ’(/) 1 = 1 г(* 0) 11 г-а)|! 81P gg ’I = g I gBut)|.

Подставляя это выражение в выражение (17.3), получаем(17.4). Emlemmas 1 и 2 действительны, даже если они означают одностороннюю область в соседнем регионе. Для уточнения физического смысла формул (17.3) и (17.4) мы снова интерпретируем кривые, описываемые конечной точкой радиус-вектора r ((), траекторией точки масс, временем параметра 1.Длина вектора r (I) остается постоянной. | r (1)[= r, то есть точка движется вдоль сферы с радиусом R. Вектор r (0 параллелен скорости V.

Мы рассматриваем движение точки в каждый момент времени как так называемую мгновенную ось вращения, то есть вращение оси через начало координат, перпендикулярное плоскости движения (так называемая плоскость вращения через радиус). Людмила Фирмаль

• Тогда вектор ω= =(gxr’) / r2 физически означает вектор угловой скорости, а уравнения (17.3) и (17.4) представляют отношение между угловой скоростью ω и линейной скоростью V. In в частности, выражение для этих обозначений (17.4) является Замечание. Используя лемму 1, можно легко получить разложение векторной функции на 2 ортогональные компоненты производной. Направление вектора Р(!(Радиальная составляющая) и вертикальная (поперечная составляющая). Определим векторную функцию r (I) в окрестности точки 10 (r (I) Φ0) и предположим, что производная r ’(10) существует. Поло Бенчмарк r o (I)-/ очевидно / r0 (1)| = = 1.Присутствует в точке / 0 Таким образом, точка^также имеет производную-1. Согласно Лемме 1, ортогональная.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Плоские кривые.	Определение кривизны кривой и ее вычисление.
Физический смысл производной вектор-функции.	Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость.