Оглавление:
Другие типы несобственных интегралов
- Другие виды неуместной интеграции. Глава В определении определенного интеграла VII, (I) интервал интегрирования конечен, и (2) подынтегральное выражение предполагается непрерывным. Однако понятие «определенной интеграции» может быть расширено во многих случаях, когда эти условия не выполняются.
Теперь предположим, что условие (2) не выполняется. Наиболее важный случай — это когда 9 (l 🙂 непрерывно в интервале интегрирования (a, A). Где x = tlt So, … и 9 (l:) — oo или 9 (x) ——— (x вправо или влево для каждого из этих значений, за исключением конечного числа значений x L0 с трендом. Очевидно, что достаточно рассмотреть случай, когда интервал (a, A) содержит только одну такую точку.
Контрмеры, неправильные интегралы рассмотрены в предыдущем параграфе, гл. VII в том, что интервал интегрирования бесконечен. Людмила Фирмаль
Если таких точек несколько, интервал (a, A) можно разделить на конечное число интервалов. Определив интегральное значение для каждого из этих подинтервалов, вы можете определить интегральное значение для всего интервала в виде суммы интегральных значений для подинтервалов. Кроме того, если E находится между a и A, можно предположить, что разрыв $ совпадает с одним из концов отрезка (o, A). Решать 9 (LG) дх как , Л | 9 (l 🙂 dx f J 9 (*) dx, После каждого из этих интегралов определяется.
Таким образом, мы можем предположить, что t = a. Как изменить определение в случае $ = очень очевидно Поэтому предположим, что 9 (n) непрерывно на интервалах (a, A). Однако, кроме точки x = a, есть еще 9 (n;) — co как x-a с правой стороны. Типичным примером такой функции является 9 (х) = (х-а) ~ \ Где s> 0 или, в частности, a = 0, 9 (π;) — π *. Посмотрим как решить Около 0 о Когда s> 0. интеграл Сходятся, если s 1 о (‘U-5 dy 17l п. 185) и средства TJ Ish \ y * ~ ‘s1y. L
| Случай положительной x | Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены |
| Распространение на несобственные интегралы правил замены переменного и интегрирования по частям | Абсолютно сходящиеся ряды |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Но подстановка у = — х 1 J ^ X ~ SDX. 1 / А 1 / т) Вот так Lim K X ~ S DX Или то же самое d Lim X ~ S DX Присутствует, когда значение интеграла (1) определено естественным образом Разделите как значение этого предела. С аналогичными соображениями, | (X-a) ~ s dx но Используя равенство А От I (x-a) до s dx = lim I (x-a) до s dx. J 0 J ~~ -t Поэтому мы приходим к следующему общему определению: J 9 (*) дх а-J-е как правило, ограничивается I для электронного интеграла J 9 (х) дх Конвергенция и важные вопросы I. Аналогично, если φC *) — x близко к верхнему пределу A, J 9 (х) дх но Как Нш (9 (л 🙂 дх, FO —-FO J 1 a
Поскольку x имеет тенденцию быть одним или несколькими значениями в интервале интеграции, интеграция функций с тенденцией oo или -co называется неуместной интеграцией второго рода. Первый тип неправильного интегрирования — это бесконечное интегрирование, рассмотренное в Разделе 184 и Разделе Sec. Почти все 1 ° –7 ° в конце § 184 также применимы к несоответствующим интегралам второго рода.
И, как мы видели, определение можно расширить, если интервал (a, A) содержит конечное число бесконечных точек функции 9 (jc). Людмила Фирмаль
Определения, которые мы сформулировали, применяются к функциям, которые имеют тенденцию быть бесконечными для определенного значения x, но эти определения также применимы к другим типам разрывов. Следовательно, / (*) = -1 для-1 ^ Д «<0> / (0) = 0, f (x 🙂 = 1 для того 1 Дж * ф (х) дх -1 Значение -h lim j f (x) dx + lim (f (x) dx = h- + o _Jt • — + o J -lim (−1-fr)) — j-lim (I-e) = 0. Jj- + 0 с + о Определение также может применяться, когда / (): Вибрационный разрыв, например, f (x) = sin-. » 188. Теперь мы можем записать уравнение (4) во фразе 186 в виде oo \ o. £ s § Правый интеграл определяется как -c — интеграл c, соответствующий интервалу (b, -c), то есть несоответствующий интеграл второго рода, 9 {/ ()} / ‘(0 бесконечно Для больших / = c интегралы по своей природе неуместны, например, <p (x 🙂 = (1 — \ — x) -m 1 </ n <2, i = 0, и это =.
Тогда b = 0, s-1 и (1) преобразование счится в От 1 Джоу = J (1- ‘) M-, <‘ (2) Ах ах Кроме того, правильный интеграл не подходит для второго вида. С другой стороны, )} / ‘(‘) может быть непрерывным в момент t-c. В этом случае и § * {/ (*)} f (t) dt b Нормальный интеграл, т с Джим J * {/ (0} f ‘. (T) dt = J »{/ (*)} f (it) dt, б б Как следствие теоремы (10), глава 165, перестановка x = f (t) превращает несоответствующий интеграл в нормальный определенный интеграл. Такой случай возникает при m> 2 в рассмотренном примере.
