Оглавление:
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.
Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных pядов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (—1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда).
Признаки сравнения рядов
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.
Теорема 60.1. Пусть даны два знакоположительных ряда
и
Если для всех 
выполняется неравенство
то из сходимости ряда (60.2) следует сходимость ряда (60.1), из расходимости ряда (60.1) следует расходимость ряда (60.2).
Обозначим -е частичные суммы рядов (60.1) и (60.2) соответственно через 
и 
. Из неравенства (60.3) следует, что
Пусть ряд (60.2) сходится и его сумма равна 
. Тогда 
.
Члены ряда (60.2) положительны, поэтому 
и, следовательно, с учетом неравенства (60.4), 
. Таким образом, последовательность 
монотонно возрастает 
и ограничена сверху числом . По признаку существования предела (см. теорема 15.3) последовательность 
имеет предел 
, т. е. ряд (60.1) сходится.
Пусть теперь ряд (60.1) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем 
. Тогда, с учетом неравенства (60.4), получаем 
, т. е. ряд (60.2) расходится.
Замечание. Теорема 60.1 справедлива и в том случае, когда неравенство (60.3) выполняется не для всех членов рядов (60.1) и (60.2), а начиная с некоторого номера 
. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов (см. п. 59.1).
Теорема 60.2 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (60.1) и (60.2). Если существует конечный, отличный от 0, предел 
, то ряды (60.1) и (60.2) сходятся или расходятся одновременно.
По определению предела последовательности (см. п. 15.2) для всех , кроме, возможно, конечного числа их, для любого 
выполняется неравенство 
, или
Если ряд (60.1) сходится, то из левого неравенства (60.5) и теоремы 60.1 вытекает, что ряд 
также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов (см. п. 59.1), ряд (60.2) сходится.
Если ряд (60.1) расходится, то из правого неравенства (60.5), теоремы 60.1, свойства 1 вытекает, что и ряд (60.2) расходится.
Аналогично, если ряд (60.2) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (60.1).
Пример №60.1.
Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение:
Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии 
, который сходится 
. Имеем 
. Следовательно, данный ряд сходится.
Благодаря этой странице вы научитесь сами решать такие примеры, на ней содержится полный курс лекций с примерами решения:
Дополнительные примеры:
