Оглавление:
Достаточное условие экстремума
Пусть функция определена в некоторой окрестности критической точки
, в которой

и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка. Обозначим значения частных производных второго порядка в критической точке:

Тогда, наличие экстремума в критической точке можно определить по знаку выражения:

Если , то функция
в критической точке
имеет экстремум: максимум, если
или минимум, если
.
Если , то функция
в критической точке
экстремума не имеет; в случае
вопрос о наличии экстремума требует дополнительного исследования.
При исследовании функции на экстремум следует иметь ввиду, что он может находиться как среди критических точек в которых частные производные равны нулю, так и среди точек, в которых частные производные не существуют.
Пример:
Требуется найти экстремум функции


► Найдем частные производные первого порядка:

Используя необходимое условие экстремума, найдем координаты критических точек:

Решив систему, получим

следовательно, (1;2) -единственная стационарная точка.
Найдем частные производные второго порядка:

Значения производных не зависят от и
, поэтому вычислять их величину в стационарной точке нет необходимости. Найдем значение выражения
:

Так как и
, то функция
имеет минимум в точке
(1; 2):

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Экстремум функции двух переменных в математике |
Необходимое условие экстремума двух переменных в математике |
Наибольшее и наименьшее значения функции в математике |
Первообразная и интеграл в математике |