Доказательства сходимости рядов Фурье и другие вопросы

Оглавление:

Доказательства сходимости рядов Фурье и другие вопросы

Доказательство сходимости рядов Фурье и другие вопросы. Правда, в конце своей работы Фурье сам предпринимал попытки доказать эффективность разложения тригонометрических функций, но за его рассуждениями последовали попытки других авторов, в том числе и его главного Коши, но и они возражали. Первое доказательство высказывания Фурье принадлежит Дирихле(1829). На самом деле Дирихле именно о Г Р А Н И Ч, и если функция/(x) рассматриваемой

им функции удовлетворяет этим требованиям,-как доказано Дирихле-тригонометрический ряд, составленный уравнением Фурье, сходится к сумме. все нормально. * ) G. L E f e n-D I R I x L e, «сходимость треугольных рядов для представления любой функции в этих пределах»(Харьковская математическая библиотека, серия B, сб. 2, 1914, с. 3-23). *) Это означает, что основные интервалы разлагаются на конечное число частей, в каждой из которых

функция изменяется монотонно. / (х+0)+/(x_0 ) Два. — TS< ' X<: TS, а всего /(-С+0)+/(Т-0)2 В Людмила Фирмаль

X=±TS. Через короткое время (1834-1835) Лобачевский также дал доказательство теоремы разложения, но наложил на функцию условия иного типа, чем у Дирихле. Именно Лобачевский предполагает все дифференцируемое и функциональное, за исключением лишь конечного числа скачков, а также точек, где оно само функционирует или его производные XXIV. ряда Фурье[424 Мой-самостоятельно или в неуместном смысле*). Условия Дирихле и Лобачевского не пересекаются. * ) Н. И. Л О Б А Ч Е В С К И Й, «об исчезновении тригонометрических струн»и» как проверить исчезновение

бесконечных струн…»(Общий сборник, т. V, 1951, стр. 31-80 и 81-62). ** ) B e R n g A R d R I m an,»о возможности представления функции тригонометрическим рядом» (сборник, приведенный в сноске на предыдущей странице, стр. 27-85, или работы, 1948, стр. 225-261)***) Генрих Эдуард г е й н е (1821-1881) — немецкий математик. Впоследствии другие авторы установили многие общие характеристики сходимости к исходной функции ряда Фурье. Важное место в развитии теории треугольных рядов занимает знаменитый трактат Римана*(издан в 1854, 1867 гг.). Она начинается с обзора истории проблемы. Далее автор останавливается на уточнении

понятия определенного интеграла и устанавливает условия его существования. Это расширяет область применимости рядов Фурье (в частности, например, выявляется бесполезность предположений о функциях теоремы в Н Е П Р Е Р Е Т и Дирихле, но основное содержание работы связано с рассмотрением тригонометрических рядов о Б С Е Г О В и д а И (16) И, раскрывая п е о б х о д И м ы х, мы раскрываем условия выражения произвольным рядом аналогичных функций/(x) с периодом 2TE. Ряд (16)Леман строк ООО Затем его получают путем должным образом указанной двукратной консолидации. В предположении, что AP — >0 и NP — >0 (в этом случае всегда можно уменьшить случай), последние ряды сходятся равномерно через

интервал от OO до C-OO, а последовательные функции тезиса Римана соединяются числом (16) и числом работ других авторов, которые используют его метод изучения полученных им результатов. В конце концов, уравнение Эйлера-Фурье, дающее коэффициент такого разложения, было установлено медленным интегрированием ряда, и во второй половине прошлого века первый упомянутый вопрос о такой технологии не был поднят Гейнев 1870 году), * * но полное решение было дано Кантором. Уникальность сохраняется при наличии исключительной точки на заданном интервале, которая ничего не знает о сумме ряда и даже о его сходимости (например, в случае одной точки). Каковы коэффициенты этого e d и n S t в

разложении функции/(x) (при условии такой возможности)? Всегда ли они будут Людмила Фирмаль

коэффициентами Фурье? Конечно, этот вопрос может быть поставлен только в отношении таких функций, что интеграл, фигурирующий в формуле Эйлера—Фурье, вообще не имеет никакого смысла. Это очень заметно 425}§5. Очерк по истории тригонометрических функций серия 435 Ответ положительный, так как он был впервые установлен в 1872 году в функции N s x Ascolin E p R e R s, а в 1874 году интегрируемая функция-du Bois-Raymond).*Этот результат затем распространяется на более часто интегрируемые функции. Эти работы впервые убедительно мотивировались исключительным вниманием исследователей к разложению функций в ряды Фурье. * )

Джулио А С К О Л и(1843-1896) — итальянский математик. ** ) Paul du B y-R e d m o n (1831-1889) — немецкий математик,по рождению швейцарец. *** ) Симон Деннис П У С О Н(1781-1840) — превосходный французский механик, физик и математик. Остановимся еще на одном вопросе. Дирихле был убежден, что в период 2l он не мог этого доказать, но мог разбиться на ряды Фурье. Это убеждение, по-видимому, разделяют и другие математики. Но Дю Буа-Раймон писал об этом п р О В Е Р г, в 1876 году, после ряда бесплодных попыток доказать справедливость предположений Дирихле, класс Фурье стал основой его теории. Это неудивительно, поскольку основная часть теории треугольникового ряда несомненно относится к основам анализа, но в своем дальнейшем развитии эта теория уже знакома читателю.

Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов	Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей
Преобразование Фурье	Операции над множествами