Для производства двух видов изделий А к В предприятие использует три типа технологического оборудования.

Оглавление:

Задача 2.77.

Для производства двух видов изделий А к В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на каждом из типов оборудования. Время обработки каждого из изделий на оборудовании данного типа приведено в табл. 2.50. В ней же указаны затраты, связанные с производством одного изделия каждого вида.

Оборудование I и III типов предприятие может использовать не более 26 и 39 ч. При этом оборудование II типа целесообразно использовать не менее 4 ч.

Требуется определить, сколько изделий каждого вида следует изготовить предприятию, чтобы себестоимость одного изделия была минимальной.

Решение:

Предположим, что предприятие изготовит изделий вида и изделий вида . Тогда общие затраты на их производство равны руб., а себестоимость одного изделия в рублях составит

Затраты времени на обработку указанного количества изделий на каждом из типов оборудования соответственно составят часов, часов и часов. Так как оборудование I и III типов может быть занято обработкой изделий вида и не более 26 и 39 ч, а оборудование II типа — не менее 4 ч, то должны выполняться следующие неравенства:

По своему экономическому смыслу переменные и могут принимать только лишь неотрицательные значения:

Таким образом, математическая постановка задачи состоит в определении неотрицательного решения системы линейных неравенств (97), реализующего минимум функции (96). Чтобы найти решение задачи, прежде всего построим многоугольник решений. Как видно из рис. 2.8, им является треугольник . Значит, функция (96) принимает минимальное значение в одной из точек: или . Чтобы определить, в какой именно, положим значение функции равным некоторому числу, например 11/4. Тогда

Уравнение (99) определяет прямую, проходящую через начало координат. Координаты точек, принадлежащих этой прямой

и многоугольнику решений, являются планами задачи, при которых значение функции (96) равно 11/4. В данном случае к указанным точкам относится лишь одна точка (1; 3). Ее координаты определяют план задачи, при котором значение функции равно 11/4.

Возьмем теперь , т.е. положим

Уравнение (100), так же как и (99), определяет прямую, проходящую через начало координат. Ее можно рассматривать как прямую, полученную в результате вращения по часовой стрелке вокруг начала координат прямой (99).

При этом координаты точек, принадлежащих прямой (100) и многоугольнику решений, являются планами задачи, при которых значение функции (96), равное 5/2, меньше, чем в точках прямой (99).

Следовательно, если положить значение функции (96) равным некоторому числу :

а прямую (101), проходящую через начало координат, вращать в направлении движения часовой стрелки вокруг начала координат, то получим прямые

Найдем последнюю общую точку вращаемой прямой с многоугольником решении. Это точка (3; 1) (рис. 2.8), в которой достигается минимум функции (96).

Таким образом, оптимальным планом производства продукции является план, согласно которому изготовляется три изделия вида и одно изделие вида . При таком плане себестоимость одного изделия является минимальной и равна

При нахождении угловой точки многоугольника решений, в которой целевая функция задачи принимает наименьшее значение, мы полагали значение функции равным некоторым двум постоянным числам и установили направление вращения прямой, определяющее уменьшение значения функции. Это можно было сделать и по-другому. А именно: полагая значение функции равным некоторому числу т. е.

и получив некоторую прямую, проходящую через начало координат и имеющую угловой коэффициент, зависящий от можно, используя производную, установить направление вращения прямой (102) при возрастании .

Практически же дело обстоит гораздо проще. Найдя точки (рис. 2.8), в которых функция (96) может принимать минимальное значение, вычислим ее значения в этих точках: . Так как , то можно утверждать, что в точке целевая функция принимает минимальное значение. Одновременно с этим заметим, что в точке функция принимает максимальное значение.

Заканчивая рассмотрение нахождения решения задачи дробно-линейного программирования графическим методом, отметим, что при решении конкретных задач могут быть различные случаи.

Многогранник решений ограничен, максимум и минимум достигаются в его угловых точках (рис. 2.9).
Многогранник решений не ограничен, однако существуют угловые точки, в которых целевая функция задачи принимает соответственно максимальное и минимальное значения (рис. 2.10)
Многогранник решений не ограничен, и один из экстремумов достигается.
Задача (105)—(108) является задачей линейного программирования, а следовательно, ее решение можно найти известными методами. Зная оптимальный план этой задачи, на основе соотношений (104) получаем оптимальный план исходной задачи (92) —(94).

Таким образом, процесс нахождения решения задачи дробно-линейного программирования включает следующие этапы:

Сводят задачу (92)—(94) к задаче линейного программирования (105) — (108).
Находят решение задачи (105) — (108).
Используя соотношения (104), определяют оптимальный план задачи (92) —(94) и находят максимальное значение функции (92).

Задача 2.84.

Найти максимальное значение функции

при условиях

Решение:

Сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Для этого обозначим через и введем новые переменные . В результате приходим к следующей задаче: найти максимум функции