Оглавление:
Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эилера-Даламбера
Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки
, включая и саму точку. Тогда предел

если он существует, называется производной функции в точке
, а функция
называется дифференцируемой в точке
.

Подчеркнем, что в равенстве (74.4) любым образом стремится к нулю, т. е. точка
может приближаться к точке
но любому из бесконечного множества различных направлений (см. рис. 283) (в аналогичной ситуации для функции одного действительного переменного точка
; приближается к точке
лишь по двум направлениям: слева и справа).
Из дифференцируемости функции в некоторой точке
следует ее непрерывность в этой точке (отношение
при
может стремиться к конечному пределу
лишь при условии, что и
). Обратное утверждение не имеет места.
При каких условиях функция будет дифференцируемой в данной точке?
Теорема 74.1. Если функция определена в некоторой окрестности точки
, причем в этой точке действительные функции
и
дифференцируемы, то для дифференцируемости функции
в точке
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства

Равенства (74.5) называются условиями Эйлера-Даламбера (или условиями Коши-Римана).

Необходимость
Пусть функция дифференцируема в точке
, тогда предел (74.4) существует и не зависит от пути, по которому
. Можно считать, что точка
приближается к точке
по прямой, параллельной действительной оси (оси
), т. е.
(рис. 284). Тогда

Если же точка приближается к точке
по прямой, параллельной мнимой оси (оси
), то
. В этом случае

Сравнив найденные пределы, получим .
Отсюда следует: .
Достаточность
Пусть теперь условия (74.5) выполняются. Докажем, что функция дифференцируема.
Так как функции и
дифференцируемы в точке
, то их полные приращения можно представить (см. (44.4)) в виде
,
, где
и
— бесконечно малые более высокого порядка, чем
. Тогда

Заменяя в числителе правой части на
,
на
согласно
условиям (74.5), получаем:

где

т.е.

а — бесконечно малая высшего порядка относительно
. Отсюда следует, что
существует. При этом
.
С учетом условий Эйлера-Даламбера (74.5) производную дифференцируемой функции можно находить по формулам

Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке . Это означает, что если
и
дифференцируемы в некоторой точке
комплексной плоскости, то верно следующее:

Если
дифференцируема в точке
, a
дифференцируема в точке
, то
.
Если в некоторой точке
функция
дифференцируема и существует функция
, дифференцируемая в точке
, причем
, то
, где
— функция, обратная функции
.
Приведем без доказательства теорему о дифференцируемости основных элементарных функций комплексного переменного: функции
дифференцируемы в любой точке комплексной плоскости; функции
и
также дифференцируемы в любой точке плоскости, кроме точек
и
(
) соответственно; для функций
,
в окрестности каждой точки
можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой в точке
функцией.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Ротор векторного поля. Формула Стокса |
Свойства основных классов векторных полей |
Аналитическая функция тфкп |
Геометрический смысл модуля и аргумента производной |