Оглавление:
Дифференциалы высших порядков
Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент
— независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал
есть также функция
; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции
называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается
или
.
Итак, по определению . Найдем выражение второго дифференциала функции
.
Так как не зависит от
, то при дифференцировании считаем
постоянным:

т. е.

Здесь обозначает
.
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по-
рядка:

И, вообще, дифференциал -го порядка есть дифференциал от дифференциала (
-1)-го порядка:
.
Отсюда находим, что . В частности, при
соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если
— независимая переменная. Если же функцию
, где
— функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения
, получаем:


т.е.

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое .
Ясно, что если — независимая переменная, то

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
Пример №24.6.
Найти , если
и
— независимая переменная.
Решение:
Так как , то по формуле (24.5) имеем
.
Дополнительный пример №24.7.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически |
Применение дифференциала к приближенным вычислениям |
Теоремы о дифференцируемых функциях |
Возрастание и убывание функций |