Оглавление:
Дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида
, связывающее независимую переменную
, искомую функцию
и её производные
,
.
Решением или интегралом дифференциального уравнения называется любая функция , обращающая его в тождество.
Дифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , где
— аргумент,
— неизвестная функция,
— производная от функции
. Функция
называется решением уравнения, если она обращает его в тождество, т. е.
.
Задача Коши
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение
, т. е. удовлетворяет начальному условию
.
Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку .
Рассмотрим несколько видов дифференциальных уравнений:
1. ДУ с разделяющимися переменными
Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида

или

Уравнение (1) разделим на и запишем в виде

Теперь найдём общий интеграл

Задача №98.
Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:
Преобразуем левую часть уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим уравнение на , имеем

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения

— общее решение уравнения.
Задача №99.
Решить задачу Коши
Решение:
Найдём общее решение уравнения с разделяющимися переменными:

— общее решение ДУ.
Решаем задачу Коши:

— решение задачи Коши.
2. Уравнение вида

называется линейным уравнением. При этом уравнение называется однородным.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка ищется в виде , где
— некоторые неизвестные функции.
Имеем . Подставим эти замены в (2) и получим:

Решим теперь два уравнения:
и
.
Для первого уравнения найдём частное решение с условием , для второго ищем общее решение. Тогда
— общее решение исходного уравнения.
Задача №100.
Найти общее решение уравнения .
Решение:
Разделим уравнение на , получим

Это линейное неоднородное ДУ первого порядка.
Пусть ,
, тогда

Найдём частное решение уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Теперь найдём общее решение ДУ

— общее решение уравнения.
3. Уравнение вида , где
называется уравнением Бернулли. При помощи подстановки
оно приводится к линейному уравнению и его можно решать подстановкой
.
Задача №101.
Найти общее решение уравнения .
Решение:
Полагаем , тогда

Выполняя эту подстановку, получаем линейное уравнение

Интегрируя его, находим

Следовательно, общее решение будет

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: