Определение 6.1. Функция называется дифференцируемой в точке
, если ее приращение в этой точке
может быть представлено в виде

где А — некоторое действительное число, а — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем
при
.
Теорема 6.1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке
, необходимо и достаточно, чтобы в точке
существовала конечная производная
.
Доказательство.
Необходимость. Если функция дифференцируема в точке х0, то из определений 6.1 и 5.1

Достаточность. Если , то по теореме 5.1 в окрестности точки
справедливо равенство
, где
— БМФ при
.
Умножив обе части равенства на получим (6.1). ■
С учетом теоремы 6.1 и равенства , формулу (6.1) можно переписать в виде

откуда при получим

Следовательно, при будем иметь

где называется главной линейной относительно приращения переменной
частью приращения функции
при
.
Определение 6.2. Главная линейная часть приращения функции в точке
называется дифференциалом
функции в этой точке, т. е.
или
. Если
, т. е.
Заметим, что если рассмотреть функцию , то в этом случае
и, следовательно,
т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой:
. Поэтому дифференциал функции
в точке
можно представить в виде

Геометрический смысл дифференциала следует из формулы (6.2), рис. 6.1. Согласно принятым обозначениям:

Дифференциал функции равен приращению NP ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой при приращении аргумента
.

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной:

Пусть для функции переменная
. Если рассматривать
как независимую переменную, то
, где
. Если рассматривать как независимую переменную
, то

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы: