Дифференцируемые отображения

Оглавление:

Дифференцируемые отображения

Дифференцируемые отображения. Далее мы возвращаемся к определению дифференцируемых векторных отображений. Во-первых, вспомним функцию ETA variable/. E * K, EaE’1*, точка x =(определяется в окрестности x …xn) eназывается называется дифференцируемым в этой точке, если такая константа присутствует… Функция function / i1 в этой точке = ^ r(x））、 /(-^ 1Д^ 1, * * * 1 ^п)/(Уо•••*» .. до −0, (41.46） Где k =(kj …к«). Для отображения «из-мерного пространства в m-мерное», «малое» определяется как: Пусть V-окрестность точек x0 E, a(Y > m; a-o (x) как x * x0, если / a / = o(| x|), x-* x0, то есть функция e.(// ? ] а(Х)| = е()| х|, (41.47） ge1 / и тe e (x)= 0. LG-LG LG0 Излишне говорить, что это длина вектора| a (x) / pro. Пространство K™, μ\ длина вектора пространства En.

Полученная разность линейных отображений соответствует самому отображению. Людмила Фирмаль

Для выражений вида o (x), который является вектором, сохраняются нормальные правила действия для символа»O small«.Например, O (x) O(X)= O(x)’, когда X-A’ o. Линейное отображение формулы(41.46) (линейный функционал) (К1,… ***afg + * * * + akn называется производной в точке x функции/. Р(х)、 Е(х) (к)= АФС + апкп. Таким образом, определение Дифференцируемости(41.46) может быть выражено следующим образом: ？(х + к)=} (Х)+ B(х)(К)+ О(К), Е-0. Определена также Дифференцируемость отображения в общем случае. Определение 8. Пусть V-окрестность точки x∈B в пространстве Hn. Если линейная карта (линейный оператор) существует, то карта[.0 называется дифференцируемым в точке x. }(х + к)= 1(х)+1(К) + О(К), К-0,АЕК. (41.48)） * «Через меня, как всегда, указывается множество всех действительных чисел. § 41.

Неявная функция Шестьдесят два Линейный оператор I называется дифференциалом отображения в точке x, обозначаемой более подробно O(x) или O (x). Используйте эту нотацию для определения Дифференцируемости (41.48) можно переписать следующим образом ？(х + з)= ф(х)+ р /(х) (х)+ о(H), а-0.(41.49） Дифференциальная Матрица 0 /(x) (см.(41.34)) называется отображением/производной в x и представлена/ ’(x). Из уравнения (41.48) сразу видно, что карта, дифференцируемая по x, непрерывна с ним. МН /(х {х) = F(х). Л-О-о Теорема 3.Для карт./ Ять, EaYaP, дифференциал Цитируется в точке xe E, и разница в этой точке однозначно определяется.

Доказательство теоремы. Вдоль равенства (41.48) /(Х + А）= /（^）+ / 1（А)+ О(А), А» −0, (41.50） Здесь 1X. Dn * Km, где^ линейный оператор. Если вычесть одно из этих равенств из другого, вы получите Для A (0) I (k) 1X (k)= o (k） То есть существует функция e (k), определенная в V в окрестности нуля в пространстве Hn, т. е. Y-Y’N, как H-m e (A)= 0 й 0 Все о K e V hold 11(к) 1х {К)| = = Е(А)| а |. (41.51)） Используйте любой k∈Rn здесь. Тогда он имеет 1k = V для всех I, которые малы enough. So в (41.51) вы можете использовать k = 1k для такого I. ] Я(1к) 1Х(1к)| = е(1к) 11к |. С \ 1к \ = \ 1 \ \ К \и карте я и 1Х линейный、 Но… \ 1(к) 1 раз (А) [=Е ((К)| К |.(41.52） Но lnnn / r = 0; следовательно, из-за особенностей функции e、 Пн ())=0.Перейти к пределу as / 0 in (41.52)、 41.7.Дифференцируемое отображение Шестьдесят три Получаем| /(k)-(k)| = 0, то есть k> 1 (к)= 1х (к).

Это означает, что/ = 1р. ТС Доказательство, конечно. Позволять./ I «■I » 1-линейный оператор. Затем, благодаря линейности、 /(х + г)= /(х)+ /(г）、 То есть равенство (41.48) справедливо для f = f и σ (ω)= 0.Потому что дифференциал един / (x) =F уникален. Я не уверен. Теорема 4 (линейность дифференциала).За Карту!. Е * Тю и^. D-Hm, E и Hn, дифференциальные в точке x∈E, а затем для любого числа X и p линейная комбинация X [-] n также дифференцируема по x、 ниже приведен пример следующего: °not (x)= xy} (x)+ cOe (x). Доказательство. Дифференцируемость отображения f и g в точке x позволяет (см. 41.49). Ф(Х + А)= Ф(Х)+ ч(х) (Г)+ О(А)-0、 §(х-\ к)=.§(х)+ со(х) (К)+ О(К), К-+ 0; Отсюда (А /(х + а)+ п ^(х + а)= = [Н(х)+ ГУ(х)] + U(х)+ РП(х)+ О(К), А-V 0.

Определение и символика в формулировке теоремы осуществляется в полном аналоге. Людмила Фирмаль

Потому что CB}(x)+(x) линейное отображение (См.§ 41.6), по определению 8, линейное отображение X0 /(x)+ pn (x) является дифференциалом отображения X[y§. 5. Эая, ОС. Ru: Ja, ja: ja/.-,,§ 0-+ * 、кроме того, отображение/дифференцируемо в точке x> E, а g дифференцируемо в точке/(x).Точка x и производная в этой точке равны отображению / и синтезу производных§. (икс。）（^ ））（/（=） (41.53)） Если условие теоремы результата выполнено, то дифференциал Конфигурация отображения равна произведению производной. ＆•/） ’（）= $’（/（））/ ’（）•（41.54） Как видно из приведенной выше формулы, благодаря хорошему выбору.

Векторные отображения.	Отображения с неравным нулю якобианом.
Линейные отображения.	Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. особые точки плоских кривых.