Оглавление:
Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. При изучении дифференциальных характеристик параметрически зависимых интегралов сначала рассмотрим Интеграл вида (53.3).Теорема 4 (правило Лейбница).Функция f (x, y)и ее Частичная производная^ ^ непрерывная с замкнутым прямоугольником Ник D = {(x, y).a x 6, и y P}, функция Φ (y)= b (x, y) dx дифференцируется в сегментах[a, P]、 Но… БФ (г)_ р д!(Х, Y)^ Ю 3 53.2, нет. Дифференцирование параметрических интегралов Триста один Доказательство. #Е [А, Р] и г -АУ ^ [А, Р];тогда У + Ау) рН, г)] г = = ул ^ г + му) ЛК, 0 Е 1. Здесь мы применяем формулу конечного приращения Лагранжа. еперь это похоже на ω (δ; ^） Д} Г Мы получаем Г + Вай) Д [(х, y） Ага. Ф (|/+Д»/) Ф(у） АУ ЗУ） Но、 Б 5 (1) Н) ЛК«| / Лы 1.% ) Ф -«) •(53,7） Но… Функция-для равномерной непрерывности Прямоугольник A.
Поэтому, чтобы различать интегралы по их параметрам, основанным на предположениях, достаточно различать подынтегральные функции и не изменять пределов интегралов. Людмила Фирмаль
- ТЭто Fm a ^ / Dy|;. | ^ = 0; таким образом, из(53.7) Мы получаем Да. Fφ(V -±/^) φ (V)= = n * О du л» -«/’-• Теорема 4 может быть легко обобщена для интегралов общего типа, зависящих от параметров(53.2). Теорема 4 ’.Давай посмотрим. 1) функция f (x, y) и ее частные производные Вода du непрерывна с замкнутым прямоугольником A = {( * , y). а х ^ б, а # п}、 2) С A (см. (53.4)）; 3) пусть функции (p (y) и φ (y) имеют непрерывные производные на интервале[a, P]. Интеграл (53.2) также имеет производную от интервала[a, P], зависящую от параметра. Ф(г） (53.8） § 53.Внутренние интегралы по параметрам Триста два Доказательство. Подумайте о возможностях В p(y, u,= y) yx, и C и A V-C b, и g / PЛегко проверить частные производные напрямую Р Л Р Л ЛВ Врач.
- Функция W dy P существует и непрерывна по всем переменным y и V. Во-первых, проверьте наличие и непрерывность частных производных. Его существование продолжается непосредственно из теоремы 4. Давайте докажем его непрерывность. а ^ у^, А ^ АУ-Б++ Л ДП(г, у, г) ДП(г \ \ г, у + АИ, г-(-ый) ДП(г, у, Р1） ду, ду, ду, ду, ду. * Получить его. 0 {пункт назначения Я Л Д & ’11 ^ И 4-ды В Г +&Г） И+ АИ К 6Х + Около 4» | !Т±W4x (53.10)） Ты можешь это сделать. Поскольку функция U определена в прямоугольнике、 При выборе значений аргументов выше все записанные интегралы бессмысленны、 / o » / 6 дюймов (53.11） Кроме того, функция прямоугольника а от непрерывности То есть для каждой точки (x, y)∈существует постоянная M 0, в которой существует неравенство для A в. (53.12） Д [(х, y） К Как упоминалось выше, это показано ω^ 6.Непрерывно модуль. Используя функцию u и неравенство на прямоугольнике A 54.1.
Таким образом, функция Φ может быть дифференцирована по правилам дифференцирования сложных функций. Людмила Фирмаль
- Равномерная сходимость интегралов по параметру 303 ^ Получено из (53.11) и (53.12), (53.10) о (/Лу |; В л и в 4-к + м \ ых + М 1-ых И V И 4 ДМ в (Б-а) ({\ау\ -|) + м | ДВС-А4 | АО/. Доктор (С. В.°） К Из этого следует, что hshl dG ^ y ’и ’ ^ = 0.И этот тоже. Г «Д / 2 + почтовый индекс dy2 + Да2-» о U д-р Означает непрерывность-частичная производная на множестве {(y, u, V). СИ(1, Б, и Г ^ Б). Непрерывность этого множества частных производных &=Щ, Г),% =(52.13） Это понятно. Связь между функциями Φ и устанавливается устанавливается по формуле Доктор ДФ, доктор Ли. Д-р Ив ду ду Ди ю ду ю Здесь мы заменяем частную производную выражением ДЦ dR_ dr_ делать ’ Ди-я (Если вы установите (см. 53.9) и (53.13)) и u-(p (y) и o =φ(y), вы получите формулу (53.8).Я не уверен.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
