Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядоков

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков. 2я функция переменной ХІ …. хп, УГ,…, yn, или эквивалентно, упорядоченная пара точек в размерном пространстве* =(*!,••*, Хп), г =(Йи УП) тип Где i,*имеют числа (r, k = 1, 2,…, n) задается и называется билинейной формой x и y. Функция A (x, x) называется 2-м порядком, соответствующим заданной билинейной форме A (x, yy). aj, = ak1, {, k-1, 2,…в случае N билинейная форма A (x, y) и соответствующая 2-я форма A (x, x) называются симметричными. Например, 2 вектора x—(xi, x2,…Х, хп) и y =(ыыы,…. скалярное произведение (уя) мерном Евклидовом пространстве ХН Симметричная билинейная форма точки x =(x1×2,…, x, q и y =(. ’/ ], yk, yk, yn), а длина вектора (в 2 раза) ls) соответствует ей вторичной. В последующем различие обозначается не только символом d, но и символом b, для удобства отображения.

Это название объясняется тем, что если либо точка x, либо y фиксирована, то функция будет линейной по отношению к координатам остальных точек. Людмила Фирмаль

• Например、 Не просто писать Кроме того, производная функции также называется ее первой производной. Предположим, что функция r = r (x, y) имеет непрерывный 1-й и 2-й частные дифференциалы в некотором открытом плоском множестве C(такие функции называются 2 последовательными дифференцируемыми в множестве O, согласно определению предыдущего раздела).Из непрерывности множества C частной производной ■и ■следуют, как мы знаем (см. теорему 20.2§ 3）、 Дифференцируемость самой функции r (x, y) в каждой точке этого set. So все точки(x,…> 0, дифференциальное Потому что, согласно сделанным предположениям, фактор dg Производные и открытые непрерывные частные производные Затем, по теореме 20.2§ 3.

Таким образом, дифференциал π, который считается функцией только переменных x и y, является дифференцируемой функцией на множестве O. вычислите производную от первой производной y, предполагая, что yx и yy фиксированы и точка (x, y) принадлежит области O. in (x, y)∈O, мы показываем новую производную в b. Непрерывность квадратичной производной обращает внимание на то, что выполненные вычисления не только имели смысл (т. е. из〜за существования разности b-и 6 во всех рассматриваемых точках).、 Но и для того, чтобы не обращать внимания на порядок дифференциации в процессе calculation. In факт, в случае смешанной непрерывности、 Потому что они совпадают с частной производной、 Для их обозначения можно использовать те же символы, которые были сделаны в приведенных выше расчетах.

• Результатом является симметричная билинейная форма переменных yx, yy, 8x, b y. добавьте 6L. = yx, YY = yy, получите соответствующий формат 2-го порядка. Это называется 2-й производной функции r = r (x, y) в данной точке (x, y)> 0 и обозначается y2r. Таким образом, мы пришли к следующему определению: Определение 2.2 производная 2-го порядка функции r = f (x, y) в заданной точке c12r является формой производной 2-го порядка независимых переменных xx и yy, соответствующей билинейной форме производной первой производной. Вычислите разность от разности 8 (π) и сделайте разность аргумента равной непрерывному дифференциалу. 8х-ых,8У = ю. Например, предположим, что r = y3co $ 2y и вам нужно найти u2r. Be последовательный.

Аналогично непрерывность частной производной 3-го порядка позволяет вычислить производную производной 2-го порядка 8 (d2r).После этого, если вы установите 8x = dx и 8y = yy, то по определению вы получите 3-й порядок derivative. By индукции, то(m + 1) следующая производная от m + 1r (m = 1, 2) также определяется. То есть, он определяется в предположении, что все частные производные функции Р (Х, Y) являются непрерывными в приказ м 4-1.Чтобы узнать, что разница м + 1R в некоторое открытое множество, вам нужно получить разницу от разницы МР (8 (мм)) порядка M и сказать, что 8х = х, 8У = ый. Кроме того, порядка M-1, 2,…в случае дифференцирования, формулы.

На практике при расчете разницы определенным образом обычно оба шага объединяются. Людмила Фирмаль

• Он обычно символически записывается в виде следующего, что облегчает запоминание. Докажите формулу (21.9) индуктивным методом. если m = 1, то это очевидно. Предполагая, что он действителен для данного m, он показывает свою действительность как m \ 1.У нас есть ЛК-ЛК и бу = уу’、 Во 2-й сумме мы заменяем общий индекс p на k-1, и+ = C ^ + 1; мы, наконец, получаем его. Замечание. Комплексная функция r =!Имейте в виду, что когда есть (X, y), x = x (a, y), y = y (u, y), то она описывается относительно второй производной функции x, / производная переменной x, y, В общем случае, перестает быть в виде (21.8), но, как правило, становится больше complicated. So, для производных более высокого порядка (то есть для порядков 2 и более).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Пример исследования функций двух переменных.	Первообразная и неопределенный интеграл.
Частные производные высших порядков.	Табличные интегралы.