Оглавление:
Делимость целых чисел
а) Множество натуральных чисел обозначают буквой , а множество целых чисел — буквой
. Если
— натуральное число, то пишут
, а если
— целое число, то пишут
.
Натуральное число записывают так:

или в виде суммы

где — цифры соответствующих разрядов.
б) Если — остаток от деления натурального числа
на натуральное число
, то

где может принимать одно из значений
;
— целое неотрицательное число.
В том случае, когда , говорят, что
делится на
.
в) Если — остаток от деления натурального числа
на натуральное число
, то:
— остаток от деления на числа
, где
, равен остатку от деления на
числа
;
— остаток от деления на числа
, где
, равен остатку от деления на
числа
.
г) Если и
— остатки от деления на натуральное число
натуральных чисел
и
соответственно, то остатки от деления на
чисел
и
совпадают с остатками от деления на
чисел
и
соответственно.
д) Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, полученное из данного отбрасыванием всех цифр, кроме двух последних, делится на 4.
е) Натуральное число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на 9).
Пример №3.
Доказать, что число делится на 6 при любом натуральном числе
.
Доказательство. Эту задачу можно решить, применив метод математической индукции. Приведем другой способ решения. Заметим, что натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда на 6 делится число , где
— целое число. В частности, число
делится на 6, если число
делится на 6. Но
— произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3 и по крайней мере одно делится на 2. Поэтому число
делится на 6, откуда следует, что число
также делится на 6.
Пример №4.
Найти последнюю цифру числа .
Решение:
Последняя цифра у числа такая же, как и у числа
. Выпишем последовательные степени двойки:

Отсюда следует, что последние цифры этих чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа такая же, как у числа
, где
— одно из чисел
а разность
кратна четырем. Так как
где 280 делится на 4, то последняя цифра числа
— восьмерка
.
Замечание. Если рассматривать последовательные натуральные степени числа 3 (или числа 7), то можно заметить, что последние цифры получаемых чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа такая же, как у числа
, т.е. девятка, так как
Аналогично, последняя цифра числа — семерка, так как
Пример №5.
Доказать, что число делится на
при любых целых
и
.
Доказательство. Если числа и
— оба четные или оба нечетные, то
— четное число, и поэтому
делится на
Если же одно из чисел
— четное, а другое — нечетное, то
— четное число и поэтому
делится на
и, значит, делится на
.
Пример №6.
Найти остаток от деления числа на
, если:

Решение:
1) Заметим, что если натуральное число не делится на
, т. е.
где
то
где
. Поэтому остаток от деления на
числа
равен
, если
не делится на
. Числа
и
не делятся на
и, следовательно, остаток от деления на
каждого из чисел
равен
, а остаток от деления на
числа
совпадает с остатком от деления на три числа
т.е. равен
.
2) Так как а
то остаток от деления на
числа
совпадает с остатком от деления на
числа
т. е. равен
, поскольку
Ответ.
Пример №7.
Доказать, что натуральное число

делится на тогда и только тогда, когда на
делится сумма

т.е. сумма цифр этого числа, взятых с чередующимися знаками.
Доказательство. Остаток от деления на чисел
, где
, равен
, так как
, а остаток от деления на
чисел
где
равен
, так как
,
а остаток от деления на
числа
равен
.
Итак, остаток от деления на числа
равен
.
Пример №8.
Доказать, что если число не делится на
, то число
делится на
.
Доказательство. Пусть — остаток от деления
на
. Так как
не делится на
, то
где
,
— одно из чисел 1, 2, 3, 4. Из равенства
где
следует, что остаток от деления
на
равен остатку от деления
на
. Так как
, то остаток от деления
на
при
равен
. Поэтому остаток от деления
на
равен нулю, т.е. число
делится на
, если
не делится на
.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными |
Прямые и обратные теоремы примеры с решением |
Метод математической индукции примеры с решением |
Рациональные числа примеры с решением |