Оглавление:
Пусть заданы два комплексных числа в тригонометрической форме: и
. Над ними выполнимы следующие операции:
Умножение




Применим формулы сложения:

Получим, что

Итак, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Деление
Примем без вывода следующую формулу:

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Возведение в степень
Для возведения комплексного числа в степень
используется формула Муавра:
.
При возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме модуль числа нужно возвести в -ю степень, а аргумент умножить на
.
Извлечение корня n-й степени
Корнем -й степени из числа
называется такое комплексное число
, что
.
Корень -и степени из числа
имеет ровно
значений, которые находятся по формуле:

Для нахождения всех корней необходимо менять значения параметра
, начиная с
(первый корень
), затем
(второй корень
) и т.д. до
(
-й корень
).
Рассмотри, как выполняются операции над комплексными числами в тригонометрической форме на конкретных примерах.
Пример №43.2.
Для комплексных чисел
найдите:
.
Решение:
а) Согласно формуле (1) получим


б) Используя формулу (2), находим


в) Применяя формулу (3), находим

г) Для извлечения кубического корня из воспользуемся формулой (4):

где параметр будет принимать значения 0, 1 и 2 (поскольку число корней 3-й степени из числа имеет ровно 3 значения).
При

При


При


Ответ:



Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Понятие модуля и аргумента комплексного числа. |
Тригонометрическая форма комплексного числа. |
Показательная форма комплексного числа. |
Действия над комплексными числами в показательной форме. |