Оглавление:
Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел 
и 
называется комплексное число, определяемое равенством
Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:
Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 163).
Непосредственно из рисунка видно, что 
. Это соотношение называется неравенством треугольника.
Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел 
и 
называется такое комплексное число 
, которое, будучи сложенным с , дает число , т. е. 
, если 
.
Если , , то из этого определения легко
получить :
Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что 
. Отметим, что
т. е. модуль разности, двух комплексных чисел равен расстоянию 
между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство 
определяет на комплексной плоскости множество точек , находящихся на расстоянии 1 от точки 
, т. е. окружность с центром в и радиусом 1.
Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
Действительно, 
. Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов 
и 
:
Например,
Заметим, что 
— действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:
В этом легко убедиться, используя определение (28.3).
Найдем произведение комплексных чисел 
и 
, заданных в тригонометрической форме:
т.е.
Мы показали, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть 
множителей и все они одинаковые, то
Формула (28.5) называется формулой Муавра.
Пример №28.1.
Найти 
.
Решение:
Запишем сначала число 
в тригонометрической форме:
По формуле Муавра имеем
Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел и 
называется комплексное число , которое, будучи умноженным на , дает число , т. е. 
, если 
.
Если положить 
, то из равенства 
следует
Решая систему, найдем значения 
и 
:
Таким образом,
На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример №28.2.
Выполнить деление 
.
Решение:
Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид
При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.
Извлечение корней из комплексных чисел
Извлечение корня -й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.
Корнем -й степени из комплексного числа называется комплексное число 
, удовлетворяющее равенству 
, т. е. 
, если .
Если положить 
, а 
, то, по определению корня и формуле Муавра, получаем
Отсюда имеем 
To есть 
и 
(арифметический корень).
Поэтому равенство принимает вид
Получим различных значений корня. При других значениях 
, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при 
имеем
Итак, для любого 
корень -й степени из числа имеет ровно различных значений.
Пример №28.3.
Найти значения 
Решение:
а) Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: 
. Стало быть,
При 
имеем
при 
имеем
при 
имеем
б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме:
Поэтому
При получаем 
, а при получаем 
. Таким образом, 
и 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Геометрическое изображение комплексных чисел |
| Формы записи комплексных чисел |
| Свойства неопределенного интеграла |
| Метод непосредственного интегрирования |
