Оглавление:
Дальнейшие свойства самосопряженных операторов
- Дополнительные свойства для самосопряженных операторов. в Этот раздел демонстрирует некоторые важные характеристики линейных операторов. Связанный с понятием норм. Сначала установите то, что вам нужно, Достаточные условия для самостоятельного присоединения оператора. Докажи что Общая теорема. Теорема 5.18.
- Линейный оператор А само- Сопряженный, необходимый и достаточный Im (Ax, x) = 0 14). Доказательство. Согласно теореме 5.13, любой линейный операнд Радиатор A может быть представлен как A = Ad + iA /. Где реклама и / -Самосопряженный оператор. так (Ax, x) = (Adx, x) + r (A / x, x).
И согласно теореме 5.15 для любого x числа Ad и A / являются действительными числами. Жила. Людмила Фирмаль
Следовательно, каждое из этих чисел равно действительному числу Сложные мнимые и мнимые части (Ax, x): Re (Ax, x) = (Adx, x), Im (Ax, x) = (A / x, x). Предположим, что A является самосопряженным оператором. Согласно теореме 5.15, (Ax, x) в этом случае является действительным числом, Im (Ax, x) = 0. Необходимость условий теоремы доказана.
Докажем достаточность условий теоремы. Пусть Im (Ax, x) = (A / x, x) = 0. || A / || = = 0, то есть A / = O. Следовательно, А = ад, ад самоассоциация Оператор. Теорема доказана. Следующее утверждение показывает некоторые свойства Фактическое значение самосопряженного оператора. Лемма.
Любое собственное значение A Самосопряженного оператора A в евклидовом пространстве Скалярное произведение (Ax, x) где x — это вектор Создать условие || x || = 1: A = (Ax, x), || x || = 1. E.59) 14) Символ Im (Ax, x) обозначает мнимую часть комплексного числа (Ax, x). Уравнение Im (Ax, x) = 0 означает, что число (Ax, x) является действительным. Доказательство.
Поскольку Λ является собственным значением оператора Для pa A существует ненулевой вектор z, такой как Az = Az. E.60) Установив x = z / || z || (очевидно, || z || = 1), переписать E.60 как Так: Ax = Ax, || x || = 1. Так что получим соотношение (Ax, x) = A (x, x) = A || x || 2 = A, то есть E.59). Док лемма Зана. Результат A является самосопряженным оператором, а A произвольным.
Собственное значение этого оператора. Давай сделаем больше m = inf (Ax, x), M = sup (Ax, x). E.61) llxll = 1 || x || = 1 Следующее неравенство верно: m ^ X ^ M E.62) Примечания 1. Скалярное произведение (Ax, x) заранее непрерывная функция от x, замкнутое множество То же самое || x || = 1, эта функция ограничена и достигает точно перед т и м Замечание 2.
Согласно теореме 5.16 собственное значение Вещественное число присоединенного оператора. Следовательно, неравенство E.62) Это имеет смысл. Доказательство конечно. собственный А встречает Е.59), а затем, очевидно, Фактическое значение находится между точными гранями m и M скаляров Продукт (топор, х). Следовательно, неравенство E.62) справедливо.
Числовые значения m и M, конкретные отношения E.61) является минимальным и максимальным Фактическое значение самосопряженного оператора A Убедитесь, что следующее утверждение верно: Теорема 5.19. Пусть A самосопряженный оператор и Кроме того, (Ax, x)> 0 для любого x. Тогда || A || Соответствующее значение этого оператора 15).
Доказательство. Мы уже отметили (см. Заявление Точка) || A || = sup || x || = 1 | (Ax, x) |. (Ax, x) ^ 0, так Тогда || A || = sup || x || = 1 (Ax, x). Согласно примечанию 1 к этому пункту 15) Поскольку существует конечное число собственных значений, и они действительны, Вы можете указать максимум. Ho, || Ho || = 1 (Aho, E) = || A || = L Сосредоточьтесь на определении нормы и используйте только что написанное.
Равенство, мы получаем отношения 16) -A1) xo || 2 = || Aho || 2-2A (Ax0, x0) + A2 || x0 || 2 = Следовательно, (A-AI) xq = 0 или иначе Axq = Axq, т.е. A = = || A || — собственное значение A. А это максимум Собственные значения от только что установленного следа Действие из леммы в этом разделе. Теорема доказана. Доказано, что числа m и M (см. E.61) минимальны.
Максимальные и максимальные собственные значения самосопряженных операторов т. A. Теорема 5.20. Пусть A самосопряженный оператор и m А M — точные грани (Ax, x) на множестве || x || = 1. Эти числа Представляет минимальное и максимальное собственные значения Оператор А Доказательство.
Очевидно, этого достаточно, чтобы доказать несколько метров. И М являются собственными значениями А. E.62 из неравенства) м и М самые маленькие, Наибольшее собственное значение. Сначала докажем, что M является собственным значением. Для этого Смотрите самосопряженный оператор B = A-ml. с того времени (Bx, x) = (Ax, x) -m (x, x)> 0.
- Оператор B удовлетворяет условию теоремы 5.19, поэтому норма ma || B || Этот оператор равен наибольшему собственному значению. С другой стороны, || B || = sup (Bx, x) = sup (Ax, x) -m = M-m 11 * 11 = 1 || x || = 1 Следовательно, (M-m) является наибольшим собственным значением Оператор значения Таким образом, существует ненулевой вектор xq, такой как Bx0 = (M-m) x0 E.63) 16) Мы также использовали уравнение || Aho || 2 = || A || Из отношения || A || = (Aho, xo) ^ || Aho ||) и || A || = sup || x || _ x ||
Поскольку B = A-ml, Bxq = Axq-mlxo = Axq-mxo. Sub Когда это уравнение Bxq помещается в левую часть E.63, оно становится следующим. После простого преобразования соотношение Axq = Mxq. так Таким образом, M является собственным значением A. Давайте проверим, что числовое значение m также является собственным значением.
Оператор А Рассмотрим самосопряженный оператор B = -A. Людмила Фирмаль
Очевидно, что -t-sup || x || = 1 (Bx, x). Согласно доказательствам, которые мы только что применили, Число -t является собственным значением оператора RA B. B = -A, поэтому m является собственным значением Оператор А. Теорема доказана. Следующая теорема раскрывает важные важные свойства Вектор самосопряженных операторов.
Теорема 5.21. Каждый самосопряженный линейный оператор pa A, действующий в n-мерном евклидовом пространстве V, Есть n линейных независимых попарно ортогональных и единиц Собственные векторы. Доказательство. Пусть Ai будет наибольшим собственным значением Оператор A (Ai = sup || x || = 1 (Ax, x)). представлен EI.
Соответствует Ai и удовлетворяет условию || ei || Естественный вектор = = 1 (возможность его выбора вытекает из доказательства этой леммы Пункт). Показать пространство в подпространстве V \ (n-1) измерений V ортогонально к EI. Очевидно, V \ является неизменным подпрофи. Является ли пространство оператора A (т. Е. Если x∈Vi, то Ax∈V1. Фактически Пусть x∈Vi (т. Е. (X, er) = 0). Тогда 17) (Ax, ex) = (x, Ax) = Ai (x, ex) = 0
Таким образом, Ax является элементом Vi, поэтому Vi является неизменным Оператор А. Это дает вам право рассматривать операторов. Тор A подпространства Vi. В этом подпространстве A предварительно Это самосопряженный оператор. Таким образом, Максимальное собственное значение A2 этого оператора Но найди использование отношений) A2 = максимум (Ax, x). || x = l ||, x_Lei 17)
Использование оператора самостоятельного соединения (Axe, ej Тот факт, что (x, Ae — [) и ei являются собственными векторами оператора: Aei 18) Символ ei_Le2 указывает векторную ортогональность Кроме того, вы можете указать такие векторы e2, e2_Lei, || e2 ||. = 1 Ae2 = A2e2. Кроме того, когда мы смотрим на (n-2) -мерное подпространство V2.
Векторы ei и e2 и повторение вышеуказанного вывода ny, построить собственный вектор ez || ez || = 1, ортогональный еи и е2. Сделайте то же самое и последовательно n взаимно ортогональных собственных векторов ei, e2, …, en, E e == 1, 1, i = 1, 2 ,. Замечания 1. Я согласен с нумерацией в будущем Значение оператора self-join в порядке убывания.
Он учитывает многократные, то есть множественные собственные значения. Кроме того, Ai ^ A2 ^ … ^ Rn и соответствующие собственные векторы ei, e2, …, en взаимно ортогональны и могут считаться удовлетворительными. Условие ε == 1. Таким образом, Я (J для г м ^ J. Замечание 2. Из обсуждения доказательства теоремы (О, х) Отношение Xm + 1 = max x ^ efc, -, -C —
Это отношение (О, х) Кроме того, формат: Xm + 1 = maxx ^^ —————. Где Эм линейный Вектор корпуса ei, e2, …, ep. Эффективность замечаний заключается в следующем. Из того факта, что (x, x) = || x || (О, х) (Х, х) И норма элемента х / || х || Пусть Em будет множеством всех m-мерных подпространств пространства Собственность V.
Следующие важные минимаксные свойства свойства сохраняются: Фактическая стоимость. Теорема 5.22. Пусть A самосопряженный оператор, Ai, A2, …, An К линии, показанной в замечании 1. , (О, х) Am + i = мм макс. E.64) От 7 до n «» ^^ I до PP («V» V 1 Доказательство. Сделайте Em подходящим линейным диапазоном Векторы ei, e2, …, en для оператора A (см. Примечание 1).
Согласно замечанию 2 (О, х) max- = Am + I x ± Em (x, XJ Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что Балансовый коэффициент (Ах, х) (Ах, х) max-> max- = Am + i E.65) xi ^ cSm (x, x) * eEm (x, x) Для ЭГСм. Перейдите к доказательству взаимосвязи в E.65). Обозначается E1 по волне — это ортогональное дополнение к подпространству E (см. § 2§3) 4).
Теорема 2.10 показывает, что размерность E1- равна n-m. так dimE1- + dimEm + i = (n-m) + (m + 1) = n + 1> n Это пересечение подпространств согласно теореме 2.9. E1- и Et | _ 1 содержат ненулевые элементы. Так что есть элемент х x_LE, || x || и т. д. = 1, x∈Em + 1, т. е. x = Ylk = i ckek- после || x || = 1 и основания ei, B2, …, en ортонормированы, По теореме Пифагора (см. Подраздел 2 главы 4 §1) llxll2 = ха + 1 к = л
Кроме того, Ax = A XX = ckek = ^ 2 ™ = \ ck-> ek-, так как е ^ — Собственный вектор оператора A из последнего соотношения Лу чайный топор = * 5 йк = 1 ск ^ кек. Отсюда и ортонормированность е / По законности соотношения ха + 1 = ^ 2 \ ° k \ 2 ^ k-E.67) к = 1 Нумерованные собственные значения в порядке убывания Возможна кратность объема.
Следовательно, Am + i <A &, k = 1, 2, …, t. Из этого и соотношений E.67) и E.66) мы получаем: Обратите внимание на норму элемента x / || x || для любого xΦ0, равного 1 || x || = 1, а также рассмотреть x_Li? (/ V v Y) I X X \ max ————— = max A —-, —rr ^ (Ax, x) ^ Am + b x ± E (X, XJ x ± E \ || x || || x || / Следовательно, связь E.65) установлена. Теорема доказана.
Смотрите также:
