Что такое уравнение и как его решать с примерами и решениями

Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее только эту переменную, ее называют неизвестной величиной. Значения переменной, при подстановке которых в уравнение получается тождество, называются корнями уравнения, или решениями уравнения. Решить уравнение — это значит найти все его корни и только их, или доказать, что корней нет. Два уравнения, имеющие одни и те же корни и не имеющие других корней, называются равносильными. Обычно при решении уравнений производят преобразования выражений, входящих в уравнения. Чтобы такие преобразования были равносильными, т.е. не меняли набора корней, необходимо, чтобы корни не терялись и не приобретались посторонние корни. Для этого на каждом этапе преобразования нужно выписывать ограничения на производимые операции. Например, нельзя безоговорочно делить на выражение, содержащее переменную, т. к. это выражение может оказаться нулевым. Нельзя возводить выражение, содержащее переменную, в четную степень, т. к. приобретаются лишние корни.

Мы будем решать различные уравнения, но начнем с рациональных уравнений, т.е. таких, в которых правая и левая части являются многочленами, их произведениями и отношениями. Самые простые из них — линейные уравнения. Это уравнения вида Уравнение , где и — некоторые постоянные величины и . Единственный корень линейного уравнения . Например, решим уравнения.

Уравнение вида , где — некоторые числа, , — переменная, называется квадратным уравнением. Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле — дискриминант. Если ,то квадратное уравнение имеет один корень . Если , то квадратное уравнение имеет два корня: и . Если , то квадратное уравнение не имеет корней. Если — четное число, т.е. , то корни можно вычислять по формуле . Если квадратное уравнение имеет вид , его корни вычисляются по формуле: , и они существуют, если . Если квадратное уравнение имеет вид , его корни равны и , т. к.