Оглавление:
Числовые неравенства и их свойства
Обратим внимание на то обстоятельство, что понятие неравенства, вообще говоря, можно ввести только на упорядоченном числовом множестве, например на множестве действительных чисел.
Если два действительных числа а и b соединены одним из знаков неравенств: 
, или 
, или 
, или 
, или 
, то говорят, что задано числовое неравенство. При этом неравенства и называются строгими, а неравенства и — нестрогими. Числовое неравенство может быть верным либо неверным.
Ниже при доказательстве свойств числовых неравенств наряду с законами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и утверждениями 1, 2, 3 мы будем использовать (без доказательства) также три следующих утверждения, вытекающие из определения арифметических операций суммы и произведения двух действительных чисел, понятия противоположных (по знаку) чисел, а также операции сравнения действительных чисел.
Утв. 4. Сумма двух положительных чисел положительна.
Утв. 5. Произведение двух положительных чисел положительно.
Утв. 6. Если 
, то 
; если 
, то
.
Свойства числовых неравенств
Пусть а ,b, c ,d — произвольные действительные числа. Приведённые ниже свойства сформулированы для строгих и нестрогих неравенств, но доказываются только для случая строгих неравенств.
1. Одно из двух чисел больше второго тогда и только тогда, когда второе число меньше первого:
2. Если одно число больше второго, а второе число больше третьего, то первое число больше третьего (транзитивность неравенств):
(последнее неравенство обращается в равенство 
).
3.К обеим частям неравенства можно прибавлять (вычитать) одно и то же число, при этом знак неравенства сохраняется:
1.а) Обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства сохраняется:
если 
, то 
б) Обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
если 
, то
5.Неравенства одного знака можно почленно складывать:
(последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда одновременно а = b и с = d ).
6.Неравенства одного знака с положительными (неотрицательными) членами можно почленно перемножать:
(последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда одновременно а = b и с = d ).
Если перемножаются нестрогое неравенство со строгим, то в результате может получиться как строгое неравенство:
так и нестрогое неравенство:
(последнее неравенство обращается в равенство 
).
7.а) Число, обратное к положительному (отрицательному) числу, положительно (отрицательно):
б) Числа, обратные к двум числам одного знака, связаны неравенством противоположного знака:
Следствие. 
8.а) Если обе части неравенства положительны, то при возведении его в любую натуральную степень n (т.е. умножении самого на себя n раз) знак неравенства сохраняется:
Сформулированное свойство можно усилить:
б) если 
то
в) если n — нечётно, то при любых 
верно утверждение:
Следствие. Для любого положительного числа а и любого натурального числа n неравенство а > 1 выполняется тогда и только тогда, когда выполняется неравенство 
.
Доказательство.
Докажем, что 
. Согласно утверждению 2, 
. По утверждению 6, 
В соответствии с законом дистрибутивности раскроем скобки: 
, а в соответствии с
законом коммутативности поменяем слагаемые местами: 
. Согласно утверждению 3, последнее неравенство равносильно тому, что b < а .
Докажем, например, что если а > b и b > c, то а > c . Согласно утвер-ждению 2, имеем: 
Поскольку 
, и, согласно утверждению 4, 
, то 
. Наконец, по утверждению 2, 
Докажем, что при любом c равносильны неравенства а > b и а +c> b +c . Согласно утверждению 2,
. Поскольку, используя закон ассоциативности сложения, 
то 
. Согласно утверждению 2, 
.
а) Докажем, что если c > 0 , то неравенства а > b и 
равносильны.
Необходимость. Пусть а > b , и требуется доказать, что . Во-первых, согласно утверждению 2, 
. Во-вторых, согласно утверждению 5, 
. Согласно распределительному закону, раскроем в последнем неравенстве скобки: 
. Наконец, согласно утверждению 2, 
.
Достаточность. Пусть 
и требуется доказать, что а > b . Докажем методом «от противного». Так как а не может быть равно b , иначе по свойству 6 числовых равенств имели бы 
, то предположим, что а < b. Тогда, согласно доказанному выше свойству 1 числовых неравенств, это равносильно тому, что b > а . Согласно утверждению 2, 
. Далее, поскольку b — а > 0 ,c>0, то, согласно утверждению 5, 
. Раскрывая скобки в соответствии с распределительным законом, получаем, что тогда 
. Согласно утверждению 2, последнее неравенство равносильно 
, что противоречит условию. Следовательно, а > b.
б) Докажем, что если c < 0 , то неравенство а > b равносильно неравенству 
. Так как c < 0 , то, согласно утверждению 6,
. Воспользуемся только что доказанным свойством 4.а: 
(по закону дистрибутивности)
(по свойству 1 числовых неравенств) 
(по утверждению 3) 
(согласно распределительному закону)
(по переместительному закону) 
(по утверждению 3) 
Пусть а > b, с > d . Докажем, что тогда а + с > b + d . Так как а > b и c > d, то (по утверждению 2) это равносильно тому, что а-b> 0, с — d > 0 
(по утверждению 4) (а — b) + (с — d) > 0 
(согласно сочетательному и распределительному законам) (а + с) — (b + d)> 0 (по утверждению 2) а + с > b + d .
Рассмотрим краткое доказательство свойства (1) (более подробное доказательство этого, а также последующих свойств со всеми необходимыми обоснованиями и ссылками проведите самостоятельно).
Пусть 
. Требуется доказать, что
. Рассмотрим разность 
(так как в каждом из последних слагаемых оба сомножителя положительны), т.е. 
а) Необходимость докажем «от противного». Пусть b > 0, но 1/b < 0 —1/b>0. Перемножим последнее неравенство с неравенством Ь> 0:
, т.е. — 1 > 0 . Из противоречия 1/b > 0 .
Достаточность. Пусть теперь 
. Умножим это неравенство на верное неравенство 
и получим 
, т.е. 
.
б) Пусть 
. Так как 
(числитель и знаменатель дроби положительны), то отсюда и вытекает доказываемое свойство.
а) По свойству 6 умножим неравенство 
само на себя и получим 
. Полученное неравенство ещё раз умножим на 
т.д. Таким образом, для любого конечного n за n шагов получим 
.
б) Воспользуемся формулой сокращённого умножения
Так как выражение во вторых скобках положительно, то знак разности 
совпадает со знаком 
.
в) Докажите свойство самостоятельно.
Примеры задач, в которых используются указанные выше свойства числовых равенств и неравенств, можно встретить практически в любом разделе современной математики. Чаще всего подобные свойства используются при сравнении между собой чисел, в задачах на преобразования алгебраических и прочих выражений, на доказательство тождеств и неравенств, а также при получении разнообразных оценок для числовых выражений и значений функций.
Пример №118.
Пусть 
Оценить, какие значения могут принимать 
Решение. Пусть известно, что 
, оценим возможные значения величины 
. Воспользуемся графическим подходом. Рассмотрим функцию 
и найдём область её изменения на указанном выше полуинтервале.
Как следует из графика, функция принимает все значения от 4 до 9 (не включая 9). Аналогично оцениваются 
. Ответ: 
,
Пример №119.
Известно, что 
. Оценить значения:
Решение:
Объединяя полученные результаты, получим: 
Объединяя полученные результаты, получим: 
Ответ-. 
Пример №120.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 
, если — 
Решение:
Оценим вначале, какие значения может принимать дробь 4/(х — 2). Поскольку 
то 
, а, значит, 
Теперь оценим выражение 
Если представить график квадратичной функции 
на отрезке 
, то имеем вершину параболы при 
, при этом 
. Наименьшее значение функции на указанном отрезке достигается при 
и равно 
. Таким образом, 
. Складывая полученные оценки для выражений 
, приходим к ответу:
Пример №121.
Числа 
изменяются в пределах: 
. В каких пределах изменяется выражение
Решение:
Поскольку 
т.е. 
и 
, то, складывая последние два неравенства, получаем оценку:
В силу монотонного возрастания показательной функции с основанием 4 имеем
Аналогично находим, что
Оба выражения 
и 
достигают своих наименьшего и наибольшего значений одновременно, при одних и тех же значениях x и у . Их наименьшие значения достигаются при 
а наибольшие соответственно при 
. Это вытекает из того, что оба выражения монотонно возрастают по x и независимо от этого монотонно убывают по у . Складывая почленно неравенства (1) и (2), получаем:
Ответ:
Пример №122.
Какие значения может принимать функция
Решение:
Так как 
то 
Обозначим 
Таким образом, задачу можно сформулировать в виде: «Оценить, какие значения может принимать величина 
, если известно, что 
». Поскольку 
, рассмотрим отдельно два промежутка:
. В первом случае имеем: 
, а во втором: 
. Объединяя, получаем ответ.
Ответ: 
Пример №123.
Доказать неравенство,
Доказательство. Очевидно, что при любом 
справедливы неравенства 
Складывая эти неравенства, получим:
Неравенство также может быть доказано методом математической индукции.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
