Оглавление:
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел формально соединенных знаком сложения:

Числа называются членами ряда, а выражение
-ым или общим членом ряда.
Сумма первых членов ряда называется
-ой частичной суммой ряда:

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, являющийся суммой ряда:

и расходящимся, если указанный предел расходится или не существует

Расходящийся ряд суммы не имеет.
В качестве примеров приведем следующие числовые ряды:
- Гармонический ряд

- Обобщенный гармонический ряд

сходится при , расходится при
.
- Геометрический ряд

где — начальный член;
— знаменатель геометрической прогрессии. Геометрический ряд сходится к сумме
при
и расходится при
.
Знакоположительные числовые ряды
Знакоположительным рядом называется ряд , члены которого неотрицательны:
.
Необходимый признак сходимости. Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при
равен нулю:

Следствие. Если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится:

Пример:
Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для числового ряда

► Для проверки необходимого признака сходимости выпишем и найдем предел общего члена данного числового ряда

Для раскрытия неопределенности такого типа воспользуемся правилом Лопиталя:

Применяя правило Лопиталя повторно, получим:

Необходимый признак сходимости для данного числового ряда выполняется, следовательно, расходимость ряда не доказана.
Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и
. Если члены ряда
не превосходят соответствующих членов ряда
т. е.
при всех
, то из сходимости ряда
следует сходимость ряда
, а из расходимоси ряда
следует расходимость ряда
.
Пример:
Используя признак сравнения, исследовать на сходимость числовой ряд

► Сравним данный ряд с рядом Последний является геометрической прогрессией со знаменателем

т. е. сходящимся рядом. Так как

то по признаку сравнения данный числовой ряд сходится.
Предельный признак сравнения. Если для двух знакоположительных рядов и
существует конечный, отличный от нуля предел отношения их общих членов

то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Пример:
Используя предельный признак сравнения, исследовать на сходимость числовой ряд

► Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение выбирают равным разности наибольших показателей степеней знаменателя и числителя. Так как в нашем случае
= 3 — 1 = 2. то для сравнения возьмем обобщенный гармонический

который сходится. Применяя предельный признак, найдем

Поскольку предел конечен и отличен от нуля, то исследуемый ряд также является сходящимся.
Признак сходимости Даламбера. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения при
, то в зависимости от значения этого предела возможны три случая:

Пример:
Используя признак сходимости Даламбера, исследовать на сходимость числовой ряд

► Для проверки сходимости с помощью признака Даламбера запишем предел отношения ( + 1)-го члена к
-му:

Так как предел полученного выражения меньше единицы, следовательно, данный числовой ряд сходится.
Интегральный признак Коши. Пусть члены знакоположительного числового ряда соответствуют при
= 1,2,3,… значениям некоторой функции
, положительной, непрерывной, монотонно убывающей на интервале
. Тогда несобственный интеграл
и соответствующий числовой ряд
сходятся или расходятся одновременно.
Пример:
Используя интегральный признак сходимости Коши, исследовать на сходимость числовой ряд

► Для проверки сходимости с помощью интегрального признака Коши запишем формулу общего члена ряда в виде функции натурального аргумента

и составим соответствующую ей функцию действительного аргумента

а затем вычислим несобственный интеграл от полученной функции:

Определенный интеграл, стоящий под знаком предела, вычисляется с помощью подстановки :

Вычисляя предел полученного выражения, приходим к выводу, что заданный числовой ряд расходится:

Знакопеременные ряды
Зпакочередующимся числовым рядом называется ряд


в котором любые два соседних члена имеют разные знаки.
Признак Лейбница. Пусть для знакочередующегося ряда

выполнены условия:
- Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:
- Общий член ряда стремится к нулю:
Тогда ряд сходится, причем его сумма
Знакопеременным числовым рядом называется ряд , который содержит как положительные, так и отрицательные члены.
Заметим, что знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного числового ряда.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд
— составленный из абсолютных величин его членов. Сходимость ряда
влечет за собой сходимость ряда
.
Ряд называется условно сходящимся, если ряд
расходится, а исходный ряд
сходится.
Пример:
Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд. В случае сходимости ряда, определить тип сходимости.

► Для проверки сходимости с помощью признака Лейбница заметим, что при члены данного ряда
монотонно убывают по абсолютной величине:

и

Отбрасывание конечного числа членов не влияет на его сходимость, поэтому по признаку Лейбница ряд сходится.
Определим тип сходимости ряда. Для этого исследуем сходимость ряда, составленного из абсолютных величин его членов:

Применяя предельный признак сравнения, возьмем в качестве эталонного ряда гармонический ряд

и вычислим предел

т.е. предел конечен и отличен от нуля. Следовательно, исследуемый ряд ведет себя так же, как и эталонный ряд. Из расходимости эталонного ряда следует расходимость исследуемого ряда.
Таким образом, сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, т.е. ряд сходится условно.
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны: