Оглавление:
Численные методы решения задач теплопроводности
- Точного анализа координат и времени, переменных и нелинейных граничных условий нет accepted. In в таких случаях вместо точного метода анализа используется приближенный метод решения уравнений типа (2. 5), в частности метод конечных интервалов. Если вы решите задачу численно таким образом, вы не сможете получить решение во всех точках в конкретной пространственной области. Приближенные решения могут быть найдены только при нескольких конечных points. In численное решение, необходимо заменить дифференциальное уравнение конечно-разностным аналогом.
Для этого、 Области, в которых аргументы непрерывно изменяются, необходимо заменить дискретными областями, а вместо операторов дифференцирования использовать так называемые разностные операторы уравнений. Может быть использован для решения Разностное уравнение имеет вид constructed. It строится как по явным, так и по неявным конечно-разностным схемам.
После этого приближенное численное решение дифференциального уравнения будет заключаться в решении системы линейных алгебраических уравнений. Людмила Фирмаль
Явная конечная разность equations. In дифференциальное решение одномерного дифференциального уравнения теплопроводности Проводимость dtg2t ^ l-попадание в него Приблизительно аппроксимировать производные Производная от конечного differences. In сложение, дифференциальное уравнение дифференциальный аналог Я вижу это. Численные мейоды для решения задач теплопроводности Явные и неявные конечно-разностные приближения Для решения многих (особенно многомерных) задач с переменными значениями x, c, p и qᵥ (Т *⁺1-Т*) / Д / » -«（71₊、-271 + 71. 2) / (lХ). (2. 34）.
В этом уравнении частные производные температуры относительно температуры t и координаты x относительно времени t заменяются их приближениями, а соответствующие производные заменяются конечными increments. In в частности, хχ и ГГ малы Каждая координата и время роста (шаг). Подгонка производной выполняется следующим образом Следующая цифра： (7? 。У вас есть сайт? (?) / ЛГ- (7? — Что? -1) / ДХ] / / lХ = (7Т. ₁ — 277 + Т? _.) / (ЛК) 2. При решении уравнения (2. 34) определите температуру! Точка i = 1, 2, 3,. .По поводу x-axis .At в каждый момент времени t распределение температуры зазора между соседними точками принимается линейным .
При решении многомерных задач эти точки обычно называют узлами пространственной сетки .Интервал между ними в простейшем случае одинаков и равен Ah .Разностное уравнение (2 .34) следует рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных температур .Индекс k и (k 4-1), я представляю соответствующее время !Значения температуры: 7 * — температура времени t, 7 * ⁺l-температура времени t 4-At .In процесс вычисления неизвестной температуры T * * 1, система, состоящая из N алгебраических уравнений, решается последовательно в каждый момент времени step .In в этом случае решение повторяется по количеству шагов (слоев) в расчетном интервале времени .
Правильный выбор A /и Ax важен при решении систем явных конечно-разностных уравнений .Сравнивая точное решение и численное решение, вычисление nAt / (Ax) 20 .5 дает очень удовлетворительный результат, но в случае al t / (Kx) 2> 0 .5 решение становится неустойчивым .Значение должно быть выбрано в соответствии с критериями стабильности .Разностное уравнение (2 .34) может быть выражено в следующем виде: 7Т> = 4-Б7 ?+ СП-б (2-35） Где A = C = aAt / (Ax) 2; B = 1-2aAt / (Ax) 2 .Для 2-мерной задачи правая часть уравнения (2 .35) содержит 5 различных температур, а для 3-мерной-7 температур .
Чтобы упростить рассуждение, предположим, что все значения T> 0 .In в общем случае известные значения T *₊b T *и 7 ^ −1 имеют максимум и минимум 1 .Где 7 ^₊J-максимальное значение, 7 * −1-минимальное значение, а A + B 4-C-1 предполагается, T *1= 7) потому что !-В (Т>₊, -П) -С (7*₊, — Т}_.) и Т ?’=ₜ+ l (Т, — Т ?_.) +В (Д- — Tf-i) для положительных A, B и C значения температуры обнаружения T *⁺|условие T | ₊ ₁ 7f⁺17f_i выполняются и намеренно ограничиваются .Коэффициенты А и С по физическим причинам не могут быть меньше нуля .Поэтому при выборе Ar необходимо выполнить условие устойчивости системы разностных уравнений, чтобы исключить неограниченный рост T *1 при решении.
B = (1) .- — 2a D / / (Ax) 2) > 0 или Dg / (Lx) 20, 5, то есть максимально допустимый шаг, но время Ar, n₁= 0, 5 (Dx) 2 / L .Используя подобную систему неравенств, мы можем вывести условие устойчивости для решения многомерной задачи с использованием явной схемы, рассмотренной выше, и найти условие устойчивости для разностного уравнения, соответствующего узлу на границе тела .Таким образом, 1D разностное уравнение приблизительно представляет состояние теплового баланса граничной сетки/ (рисунок 2 .3) разностная сетка, 4 (7 * x1-D) — MD-72) / Dx = = ODsr Ax (7, 1-7D / AI .(2 .36） Здесь первый член слева представляет плотность теплового потока, передаваемого конвекцией из среды Если температура .
Т₁₁ находится на поверхности неограниченной плоской стенки, то 2-й является зарядом потока тепла, передаваемого от граничного узла 1 твердого тела к узлу 2 за счет теплопроводности .В правой части уравнения (2 .36) учитывается изменение энтальпии массы, соответствующей толщине стенки 0, 5 оС в течение короткого времени .Приведя формулу (2 .36) к виду (2 .35) из неравенств, представляющих условие устойчивости, можно получить log (1 +«1 Ax / X) Dax) 20 .5 .Максимально допустимый временной шаг граничных узлов сетки зависит не только от Ax и q, но и от коэффициента теплоотдачи ctj и теплопроводности X . Неявная конечная разность equations .To увеличьте точность решения, значение .
Ax должно быть выбрано достаточно малым, и значение At должно быть пропорционально (Ax) 2 .It получается из стабильных условий .Однако в то же время решение становится практически невозможным, так как для его завершения может потребоваться очень большое количество временных шагов process .In в этих случаях используется неявное конечно-разностное уравнение вида (Т ?⁺, — Тай / Д1 = — о (7л: я-27Т» + Т !: Я) / (М2 — (2 .37） Разность во времени*системы уравнений (2 .34) и (2 .37) вычисляется вперед и назад соответственно в относительной точке времени, в которой образуется пространственная разность .Система (2 .37) безусловно устойчива, но процедура решения неявных разностных уравнений сложна, поскольку содержит 3 неизвестных температуры 7 * + f, 7f⁺1, 7ft}, и все L уравнения должны решаться вместе .
- Поскольку система уравнений (2 .37) имеет 3-диагональную Матрицу, состоящую из неизвестных коэффициентов, каждое уравнение. Он содержит более 3 неизвестных функций и может быть решен путем применения метода разностной факторизации или развертки .представим разностное уравнение (2 .37) узла I-ro в виде −4 .7 ^} + 7Ф-1 =д ₍ .(2 .38） Линейная зависимость от 7f ⁺ ⁱ 7*}} может быть выражена в соотношении 7F ⁺ 1 +rel (2 .39） Где E; и f-коэффициенты неизвестного .Аналогично получаем 7 ^ 1} = =E__7f*1+ Ft-i .подставляем значение 7 ^ 1}в Формулу (2 .38), а затем、 Т*⁺, = [А / (Б — OD_₁) ] 7 ^:} + + (А + С ^₍МВ ₍- OD_D (2 .40） Сравнение формул (2 .40) и (2 .39) 、 E, = 4, DW — OD-1）; Г, = (С + ZD_-С, Е −1) .(2 .41）.
Решение поставленной задачи заключается в определении неизвестной температуры по формуле (2 .39) в обратном порядке для последовательного вычисления коэффициентов развертки E и F {c Eb Fj по E, , FH .Например, если при 3-м типе переменных граничных условий (рис . 2 .3) необходимо определить температурное поле неограниченной плоской стенки, состоящей из изолирующего слоя (8) и тонкого металла (8 m), то систему неявных конечно-разностных уравнений можно выразить следующим образом (T5⁺, — пул » −2 [a’/, (T’, G-71 *1) + +> .(7У, ~ 7Г.) /Лх] ₽ ₽ л*; (2 .42） (71 * * −71) / Д «- = 1 (М5 *1-2Т * ⁺1+ т*) / (ЛК) 2; (2 .43） (7 * з» — п) / д (= =» (71’, — 2Т₃, + Т₂ «» / (ЛХ) 2; (2 .44） = 2 [X (7*/} — 7Gx) / Dx + + 0 * 2 * * (т *в w21-7т⁺) ] / cpco топор, (2 .45）.
Начальное распределение температуры стены определено . Людмила Фирмаль
Здесь eq и TJ₁-температура жидкости или таза от коэффициента теплопередачи и стороны изоляции .a₂ и T Tj₂-то же самое со стороны металлического слоя . a = X / (cf) — коэффициент теплопроводности теплоизоляционного слоя .N-количество узлов .КО = 1 + 2cm8mrm / (ср .ДХ) .Разностные уравнения (2 .42) и (2 .45), соответствующие граничным узлам, составлены из условий теплового равновесия[опорное уравнение (2 .36) ] .при составлении формулы (2 .45) изолирующий слой толщиной 0, 5 А и слой металла толщиной 5 м были выделены в узел N .если вам нужна высокая точность в ns, вы можете разделить стену на 3 узла ( /, 2, 3), чтобы упростить решение .
Систему уравнений (2 .42) — (2 .45) сформировать (2 .38), а учитывая n = 3, — 2S1⁺ / + (1 + 2hpi) 7l⁺I = 71 + 2 / ^、; (2 .46） — Wi7l⁺I+ (14-2Wi) 71*, -lch7 * x x » 71; (2 .47) (1 +2hP₂/ s) 7 * s *1- (2 * L / s) 71⁺1= −7 * С +2hQ₃M (2 .48） Где: k = х / топор; Н = АФ / (КП ДХ) ; Пи = С4+ 1 + ФК .Р2 = от2⁺, + ФК; ?ЕА * я *, 7tiI; Q₂= = СХ * * М7 * г> .Формулы (2 .46) — (2 .48) и сравнить формулы (2 .38), определив коэффициенты A «B» Cₜ и D . Затем по формуле (2 .41) ЭИ = 2х / (+2hPᵢ）; F, = (A + 2Ly.) D1 + 2Lr、）; E₂= kh / [1 (2 — £、）]; F₂= (T ’ ₂ +kAF₁) / [l + lch (2-E₁) ]; E, −0; Ф= [т $ + 2ч (Q₂+ + & F₂) / o] / (j + 2A (p » — kE₂) / и>] .В обратном порядке вычислите неизвестную температуру 7l⁺1, T₂ ⁺ 1 и Т ⁺1 на узле сетки в (K + 1) второй момент .7L⁺l = = £₂7l11+Fₐ; 7 * m =£, 71 * ’+Fₜ .
Аналогичная операция выполняется во времени для каждого последующего шага (слоя), пока температура узла сетки не будет определена ns при определенном time .As в явной схеме, когда выполняется первый временной шаг, температуры, содержащиеся в D-71, 71 и 71-задаются начальными conditions .In последующие шаги, температура с надстрочным индексом k берется во времени от предыдущего слоя .Значение 7 ?* 1 будет 7 *в следующем слое .В рассматриваемой неявной абсолютной устойчивой разностной схеме допустимый временной шаг выбирается только по причине требуемой точности, а погрешность аппроксимации как явной, так и неявной схем пропорциональна Дт и (дх) 2 .
Однако в частном случае, если выбрать Am и Ax так, чтобы OD / / (Ax) 2= 1/6, эта ошибка значительно уменьшается и пропорциональна (Ar) 2 и (Dx) to .Можно комбинировать явные (2 .34) и неявные (2 .37) схемы .(71 + 1-7?) / Дг-= е [ (7л *й-27Т ⁺ 1 1 7li}) а + + (71, ₁-27 ′ ₁ч71_₁) (1-о) ]/ дх2 .Затем, если o = 0, вы получаете явную систему, а если c = 1, Вы получаете систему неявных конечно-разностных уравнений .Обоснованный выбор автоматического расчета весового коэффициента О позволяет решить задачу по схеме, требующей лишь минимального расхода компьютерного времени в этих условиях .при cc 0 .5 видно, что эта схема устойчива при условии 2nAg/ (Dx) 21 / (1-2a) .В диапазоне от 1/2 а до 1 нет предела стабильности .если ст = = 0 .5- (Лх) 2д12адг) погрешность аппроксимации этой схемы пропорциональна 0 [ (AR) 2] + 0 [ (дл) ⁴] .
В этом случае, если AAG / (LX) 2 = 1 / (21/5), вы получаете наибольшую точность .Конечно-разностная схема для решения 2-D и 3-D задач .Приведенный выше метод решения систем неявных конечно-разностных уравнений может быть применен и для решения двумерных задач нестационарной теплопроводности при использовании следующей разностной схемы переменного направления .АГ .Производные 2-го порядка на временном интервале, равном 0, 5 Ar, аппроксимируются непрерывно в явном и неявном виде .Схема безусловно устойчива и имеет ошибки аппроксимации, пропорциональные Ar, (Ax) 2 и (Au) 2 .Если система конечно-разностных уравнений повреждена методом развертки, то каждое уравнение сводится к виду первого (2 .38) .
Каждое из уравнений (2 .49), (2 .50) имеет более 3 неизвестных функций (TttW .C} «и TJ -’ W или tcd, tsu и t, *; .Поскольку он содержит ns, содержащий 1, при рассматриваемых условиях возможно применение этого метода .） Сложная многомерная задача может быть заменена последовательностью более простых одномерных задач .Например, Для решения трехмерной задачи теплопроводности можно использовать следующую безусловно устойчивую локальную 1D схему: (Х1 .1’3-ПЛ) /Д =»、- — 2Т ?Д * / ’+ т ?- 7ЛМЗ (м2）; С .;？ ’3-ЛП’ /3) / Л ’ = — (2-51） — 2л . 7 .73+ Ди — ’ 3м3Лу) 2]; (ДИДЖЕЙ .»- =»ntii «- — 2СЦ- .+ ПГ .-) / [3 (Д2) г] .Каждое разностное уравнение имеет член .
Аппроксимация производной 2-го порядка для 2 координат полностью omitted .In в этом случае эффективный метод развертки может быть применен для решения многомерных задач .Fortran-prsi численное решение нестационарных задач теплопроводности Для расчета процесса нестационарной теплопроводности в ЭВМ ниже представлена программа, численно решающая задачу теплопроводности неограниченной плоской металлической стенки, покрытой изолирующим слоем, с учетом 3-го типа переменных граничных условий (см .рис .2 .3) .Алгоритм Рисунок 2 .3 .Компоновка узлов при решении одномерной задачи теплопроводности методом конечных разностей Таблица 2 .1 .
Значение (см .Рисунок 2 .3) опознавательный знак- Функция чтения Номер варианта вычисления — — — NM Толщина изоляционного слоя, М 8 в Толщина слоя металла, м 6м ВМ Теплоизоляция и физические свойства металла !О слоях： Коэффициент теплопроводности, Вт / (мК) х, ХмГР, ТМ Массовая удельная теплоемкость, Дж / (К»•К) с, см TE, RM Плотность, кг / м’Пе Количество узлов в Дельта-сетке Zel » 100 Температура среды от изолирующего слоя .Лягушка . б р .Тл {=а ^ + B из ванной Коэффициент теплопередачи со стороны теплоизоляционного слоя a AK АИ = АИ / 4fci, Би / (М2К) б Температура среды со стороны металлического слоя, КС Д . Д .Т ^^ СГ + д М м Коэффициент теплопередачи со стороны металлического слоя .Вт / (м2-К) П СК «2 = C | (+„6 d DK Времени, с .
Шаг DX Заключительный момент t * hk Начать печать/ NP XP печать lllai Д / С ДГП Начальная температура стенки, к Ti TN Численное решение этой задачи рассматривалось выше .Список символов и идентификаторов приведен в таблице . 2 .1 .Индексированные переменные (1-мерный массив) : T (I) — температура, E (I), F (I) — коэффициент развертки .(Задача решается конечно-разностной схемой, которая неявно абсолютно устойчива.) Текст программы таков: Размеры T (100), F (98X F (98） 12 мат (14, 7F13 .6, 14 .9FI3 .6, 14 .&5F13 .Шесть） МБП мат (ФЛ 3 .6） Прочитайте (1, 12) NM, B, BM, TP, TE, P, ATM, PM, K, A, R, AK, BK, EN, C, D, & CK, DK, m, DX, XK, XP .DXP, TN 6 DO 141 = 1, K T (I) = TN Напишите (3, 12) NM, B, BM, TP, TE, P、 &ТМ, ПМ, К .А, Р, АК, БК, АН, м & д, ОК, ДК, м ДХ, ХК, ХР, DXP.
Теннесси Напишите (3, 1) (T (I), I = 1, K） С = Б / (К-1） Ч “ ДХ / (ТЭ * Р * Ы） U = TP / S Г „1 .4 (2 .# TM * PM x BM）/ & (Т Е * П * Ы） Н2 =2 .* Ч НД = Н2 / г Ал = У * Н2 А2 “ П * Ч В2 = 1 .+ У X Н2 С2 = У * Ч CR = HG x U Х-0 .5 ЕСЛИ (X-XK + DX-1 .Е-6) 2, 2, 3 2 X = X 4 DX БЛ = 1 .4 Н2 * (АК х 4 БК 4 ед) БР = я + НД * (УП * Х4 ДК + У) Ди = Т (Я) 4 Н2 Вт (АК Вт x 4 БК) ж 6 (A W X W F EN 4 R） DR = T (K) 4 HG W (SK W X 4 DK) W & (C F X F M M 4 D） Е (1) = Ал / Бл Ф (д) = Д1 / Б1 Н = К-1 DO 10 I-2, N Е (я) -L2DV2-С2 * е (я）） 10 ф (Я) = Д ’ (1) + С2 * е (1-1）） & С2#Е (Я-1）） Т (к) = (ДР + пр * Ф (К-т) ) / (БР- 6 CR * F .(K-1) L-K-1 11 ЕСЛИ (L-1) 9, 8, 8 8 T (L) = E (L) * T (L + 1) + F (L） Я .. = Л-1 11. 9 Если (x-xp + т. Е-6) 5, 7, 7 7 напишите (3, 1) x Напишите (3, 1) (t (i), 1, 1, k) xp = xp + dxp go 1 ′ 09 3 Остановка конец Другие граничные условия позволяют вносить соответствующие изменения в программу.
Например, если плотность теплового потока (граничное условие типа 2) задается с верхней границей вместо cq и Т»}, то в программе достаточно изменить порядок расчета di. Di=Т (1) +Н2 * r, где r =б? Принять ak-vk-0. In в этом случае исключаются значения a и en (устанавливаются ns). Для задания Нижнего граничного условия типа 1 Используйте α₂= 99990 (получаем очень большой, но не превышающий порядка, заданного оператором 12format). В этом случае заданное значение ty1 фактически равно нижней предельной температуре 1 *11.
Смотрите также:
| Теория теплообмена | Конвективный теплообмен |
| Теплопроводность | Лучистый теплообмен |
