Оглавление:
Четырехмерные векторы в физике
- 4-мерный вектор. Набор координат события (ct, x, y, z) Считается компонентом вектора радиуса 4D (Или 4-радиусный вектор для краткости) в 4-мерном пространстве. Компонент обозначен как xr. Индекс i выполняется со значениями 0, 1, 2 и 3. далее x ° = ct, x 1 = x, x2 = y, x3 = z Квадрат «длины» вектора из 4 радиусов равен (X0) 2- (x1) 2- (x2) 2- (x3) 2.
оно не изменяется при вращении 4-мерной системы координат Людмила Фирмаль
В частности, , то есть преобразования Лоренца. В общем случае четырехмерный вектор (4-вектор) Ar представляет собой набор из четырех величин A0, A1, A2 и A3.
При преобразовании четырехмерной системы координат он преобразуется как компонент вектора четырех радиусов xr. При конвертации Лоренца n0 = + (V / s) A’1 4i = An + (V / s) A «q2 = Aa L3 = 4/3 y / 1-V2 / s2’y / 1-V2 / s2 ’ (6.1) Квадрат значения 4-вектора определяется так же, как квадрат вектора 4-радиуса. (A0) 2- (A1) 2- (A2) 2- (L3) 2.
- Чтобы упростить написание таких выражений, были введены два «вида» Четыре векторных компонента. Буквы A r и A {Обозначает их с индексами вверх и вниз. В то же время A0 = A °, A1 = -A 1, A2 = -A 2, Az = -A 3 (6.2) Величина Ag называется контравариантной, а Ai — ковариантной компонентой 4 векторов. 4 векторных квадрата отображаются в следующем формате 3 J 2 = A ° A0 + A 1Ai + A2A2 + L3L3. г = 0 Такое количество обычно составляет AgA { Общий символ.
Как правило, знак суммы опускается в соответствии с правилом, согласно которому сумма неявно применяется к индексу, который повторяется дважды в определенном выражении. В этом случае для каждой пары идентичных индексов один должен быть вверху, а другой внизу.
этот метод указания итогов с индексом без вывода сообщений очень удобен и значительно упрощает описание выражений Людмила Фирмаль
Как говорится, . В этой книге укажите четырехмерный индекс, Передайте значения 0, 1, 2, 3 с латинскими буквами r, k, Z, … Как и в случае с 4 векторными квадратами, компилируются два разных 4 векторных скалярных произведения. A * B {= A0 B0 + AXBX + A2B2 + A3B3.
В этом случае вы можете четко написать в следующем формате: И с формой A {Br, этот результат не меняется. В общем Пара немых индексов всегда может перемещать верхний и нижний индексы1). Продукт AgB {4 скаляр — неизменный В связи с вращением 4D системы координат. Эта ситуация может быть легко подтверждена непосредственно 2)
И из того, что понятно заранее (по аналогии с квадратом AlAi) Все четыре вектора преобразуются по одному и тому же закону. Четыре векторных компонента AR называются временными, компоненты A1, A2, A3-пространство (4- WH-вектор).
4 векторных квадрата могут быть положительными, Отрицательный или равный нулю, в этих трех случаях они говорят О времени и пространстве 4 вектора нуля (опять по аналогии со следующими членами) Интервал) 3). Чистый пространственный поворот (т.е. Преобразование, которое не влияет на ось времени) Три пространственных компонента четырех векторов Ar образуют трехмерный вектор А.
Четырехвекторная временная компонента представляет собой трехмерный скаляр (для того же преобразования). Перечислять и часто писать 4-векторные компоненты Как они Ai = (A0, A). Кроме того, ковариантные компоненты тех же четырех векторов: A {= = (Л °, -А) и квадрат 4 векторов: AlAi = (А °) 2-А2. 4 радиуса вектора: Xr = (c2, r), X {- (c2, -r), XrX {-c2t2-r2.
Конечно, трехмерный вектор координат x, y, z Необходимо различать контравариантные и ковариантные компоненты. В любом месте (если это, вероятно, не вводит в заблуждение), компонент Aa (a = x, y, z) записывается со следующими индексами, и эти индексы показаны греческими буквами: особенно Двойной индекс греческого индекса, сумма трех значений x, y, z (т.е. AB = AaBa. )
4-мерный тензор второго ранга (4 тензора) представляет собой набор из 16 Агг, и когда координаты преобразуются, он преобразуется как произведение двух 4-векторных компонент. Верхние 4 тензора определены таким же образом.
Может представлять компоненты 4-го тензора 2-го ранга Три формы: контравариантный agc, ковариантный A ^ и Смешанный Ag (в последнем случае, вообще говоря, нужно различать Ak и Ak, то есть контролировать, какой из них является первым Или второй индекс вверху и внизу). Связь между различными типами компонентов определяется как общее правило.
Увеличение или уменьшение временного индекса (0) не изменяется. Увеличить или уменьшить пространственный индекс (1,2,3) Измените знак компонента. Итак: A, a = ^ 00, A) 1 = -A 01, Au = A и …, Л0о = Л00, А01 = А01, А ° 1 = -А ° \ А11 = -А11, … В связи с чистым пространственным преобразованием Девять компонентов A11, L12, … составляют трехмерный тензор. 3 компонента A01, L02, A03 и 3 компонента L10, L20, L30 Создает трехмерный вектор, компонент L00 Трехмерный скаляр. Если Agk = Akg, тензор Agk называется симметричным. Если Арк = — Акг, асимметрия.
Антисимметричный Все тензоры являются диагональными компонентами (т. Е. Компонентами Л00, А 11, …) равно нулю, например, Л00 = = —00. Симметричный тензор Айк имеет смешанные компоненты Ак и Ак четко согласны. В таком случае просто создайте Agk и разместите индексы вверх и вниз.
В тензорном уравнении уравнения с обеих сторон должны быть одинаковыми и равномерно распределенными (Вверх или вниз) Бесплатно, то есть не индекс дамбы. Свободный индекс уравнения тензора можно перемещать (вверх и вниз), но он всегда может двигаться одновременно во всех терминах уравнения. Нельзя противопоставлять контравариантные и ковариантные компоненты различных тензоров.
Такое равенство, даже если оно Если в справочной системе сделано неправильно, оно будет нарушено при переходе на другую систему. Из тензорных компонент Agk скаляр может быть сформирован следующим образом: Формирование количества Ay = A ° o + L1! + A2 2 + A3z (В этом случае, конечно, Ar {= A {r).
Эта сумма называется тензорным следом, а операция ее формирования называется тензорным отверждением или упрощением. Операция свертывания также является формированием двух 4-векторных скалярных произведений, рассмотренных выше. Это образование скаляра A lBi из тензора A gB &. В общем случае свертка по индексным парам уменьшает тензорный ранг на два.
Например, Gkz — тензор ранга 2, A r ^ Bk — вектор 4, а rk ^ — скаляр. такие как Тензор единицы 4 — тензор 6k. Равенство 6 кг = Ак С любым 4 вектором Ag. Очевидно, компоненты этого тензора равны «> ■»> Если я = к, Для р ф к. Его след: 8 \ = 4. Если вы повысите один тензор на 5 КБ или понизить другой индекс, Получить обратный или ковариантный тензор.
Это показано как glk или gik и называется метрическим тензором. Глк тензор И гик имеет те же компоненты, которые вы можете себе представить Выкладываю в виде таблицы: cgik) = w = 1 0 0 ° 1 0-1 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1 (6.5) (Индекс r нумерует строки, а индекс k нумерует столбцы в порядке значений 0,1,2,3). Очевидно, что gikAk = Ai, gikAk = A \ (6,6)
Таким образом, скалярное произведение двух 4-векторов можно записать в виде % = E {kA {Ak = gikAiAk. (6.7) Тензоры 8GK, GIK, GLK являются исключительными в этом отношении Их компоненты одинаковы во всех системах координат.
так Этому свойству также принадлежит полностью асимметричный единичный тензор 4-го ранга erk1rn. Так называемый тензор, Перестановка любых двух индексов меняет знак компонента, и ненулевые компоненты равны ± 1. от Антисимметрия — все составляющие этого тензора, Если хотя бы два индекса совпадают, он равен нулю, поэтому Только те, которые отличаются по всем четырем индексам, отличны от нуля.
Put e0123 = +1 (6,8) (При этом eoi23—!) • тогда все ненулевые компоненты Вы ek1gn равен +1 или -1 в зависимости от того, можете ли вы уменьшить четные или нечетные перестановки (транспонирования) до чисел i, k, I, m до последовательностей 0, 1, 2, 3 Компонент 4! = 24 Таким образом, eSTeSt = -24. (6.9) Сумма относительно вращения системы координат Он ожидает себя как тензорный компонент.
Однако, если знак одной или трех координат изменяется, компонент Тензорные компоненты должны менять знак, но они определены одинаково во всех системах координат, они не изменены. Так что erk1rn на самом деле не тензор. Но, как говорится, псевдотензор. Псевдотензоры любого ранга, В частности, псевдоскаляры ведут себя как тензоры для всех преобразований координат, кроме тех, которые не являются таковыми.
Может быть уменьшено до вращения. То есть изменение знака координат, которое нельзя сводить к вращению, кроме отражения. Произведение elklrnePrst формирует ранг 8 4 тензоров, Тензор уже верен. Одно или несколько упрощений Индексные пары из него получат тензоры 6-го, 4-го и 2-го ранга. Все эти тензоры имеют одинаковую форму во всех системах координат.
Таким образом, вы должны представлять эти компоненты Единственный истинный тензор, где компонент существует — в виде комбинации продуктов из компонента единичного тензора 5гк То же самое для всех систем. Эти комбинации легко создавать, На основе симметрии перестановок Индекс 1 требуется.
Когда Agk является антисимметричным тензором, тензор Agk и псевдотензор A * rk = (1/2) elklrnAirn называются двойственными. Аналогично, ek1gpAsh — третий асимметричный симметричный тензор Вектор Ag двойного ранга. Двойственное тензорное произведение AgkA * явно псевдоскалярное.
Я помню что-то похожее по отношению к вышесказанному Трехмерные векторные и тензорные свойства. Ранг 3 полностью асимметричной единицы псевдотензор Набор величин ea ^ 7 для изменения знака при переупорядочении любых двух индексов. Только компонент ea ^ 7 не равен нулю 3 разных индекса.
Кроме того, exyz = 1; Остальное равно 1 или -1 в зависимости от того, приводит ли четная или нечетная перестановка к последовательности ce, / 0, 7 для последовательности x, y, z 2). Работа составляет 7D / X1 / True трехмерный Ранг 6 тензор. Следовательно, это выражается как комбинация.
Произведение компонентов блока 3D тензор 5а / 33) Вот для справки соответствующая формула: сг сг сг Д-р д.г. 6i иклм _ ск ск ск ск ск Op or Os Ot iklm WP WR WG ск ск ск b Cprst-7777, b Cprsm -Op или os Sp Sr Si 6} mc mc mc m cL 1 L1 L1 Операционная система Операционная система «Я l * & Prim «V p I p) 5 iklm 6 Gpkln = -6 футов Общие коэффициенты для этих уравнений подтверждаются результатами полярного затвердевания, дающими (6.9).
В результате первого из этих выражений, епрст AgRAkGA18A ^ = -AeSht, eiklmevrst AipAkrAisAmt = 24 А, Где A — определитель, состоящий из значений Aik. 2) Инвариантность 4-тензорной компоненты ehk1gn и 3-тензорной компоненты eSK / q для вращения 4-й системы координат Вращение пространственной оси является частным случаем общего правила: все полностью асимметричные тензоры Ранг, равный числу измерений заданного пространства, инвариантен относительно поворота системы координат в этом пространстве.
3) Соответствующая формула приведена для справки. BSK / 37 G’Xfxu-S / 3X ^ 7 л переменный ток ] RR Упрощение этого тензора с 1, 2 и 3 наборами индексов дает: ^ a / Z’u ^ X / l’u = $ a \ $ (3c 6SK / Z76A / Z7 = 2 (5o, d, Ca (3’uЈa (3’u = 6. При отражении системы координат, то есть при изменении знака Все координаты, а также обычные трехмерные векторные компоненты Измените символ.
Такие векторы называются полюсами. Векторные компоненты, которые могут быть выражены как векторное произведение двух полюсных векторов, не меняют знак при отражении. Такие векторы называются осями. скаляр Произведение вектора полюса и вектора оси не является истинным и является псевдоскалярным.
Когда координаты отражаются, знак меняется. Аксиальный вектор является псевдовекторным, двойственным Антисимметричный тензор. Так что, если C = [AB] C a = ~ ^ a / 3’yC ‘(3 ^ -) ГД6С (3 7-ApB ^ A ^ Br. Вернемся к 4 тензорам. Пробел … = 1,2,3) Компонент асимметричного 4-тензорного Agk равен Для чистого пространственного преобразования используется трехмерный антисимметричный тензор.
В соответствии с вышеизложенным, компонент представлен трехмерным компонентом. сиал вектор. Компоненты L01, L02 и L03 являются Трехмерный полюсный вектор для того же преобразования. Поэтому антисимметричные 4-десять компонентов Зора может быть представлена в виде таблицы. (Айк) = 0 Vx Vy Vz ‘ -Vx 0 ау -Vy az 0- & X -Vz ~ ay & x 0 (6.10) О пространственной трансформации р А векторы полюсов и осей.
Перечислите компоненты асимметричного тензора 4 и запишите их в следующем формате: Aik = (р, а); Далее ковариантные компоненты одного и того же тензора И к = (-Р, а). Наконец, я объясню некоторые различия. Интеграционная операция для тензорного анализа 4D. Ешьте 4 градиента скаляр 4 вектора дхг \ с дт дж Следует отметить, что письменную производную следует рассматривать как четырехвекторный ковариантный компонент.
На самом деле, скалярная дифференциация д (р = ^ 7 дх Также есть скаляр. Из его формы (скалярное произведение двух 4-векторов) и выявлены утверждения. В общем случае дифференциальный оператор по координате xj имеет вид д / дхг, следует рассматривать как ковариантный компонент Оператор 4 вектор.
Так, например, расхождение 4-вектора представляет собой скалярную формулу dAg / dxg, где diff Обратный компонент Ar 1 отображается. В трехмерном пространстве интеграция может быть выполнена по объему, поверхности и кривой. В четырех измерениях Возможен каждый из четырех типов интеграции.
1. Интегрирование на кривой в 4 пространствах. Элементом интегрирования является элемент длины, т.е. 4 вектора dxl. 2. Интегрирование по поверхности 4-х пространств (2D). Как известно, в 3D-пространстве области проекции Параллелограмм, составленный из двух векторов dr и dr ‘на координатной плоскости xahr, равен dxadx´-dxpdxfa.
Аналогично, в 4 пространствах бесконечно малые элементы поверхности Асимметричный тензор второго ранга dflk = = dxldx, k-dxkdx, l \ его компонент равен проекции площади Элемент на координатной плоскости. В трехмерном пространстве, как известно, в качестве поверхностных элементов вместо тензоров dfap используется двойной вектор тензоров dfap: dfa = — «Ea ^ 7 ^ / ^ 7 *
Геометрически это вектор абсолютных значений, перпендикулярный элементу поверхности и равный площади этого элемента. Не может построить, тензор б? / * г / с, двойной Тензор б? / г / с, то есть d f * ik = ± e iklmdfim (6 стр.) Геометрически он представляет собой «нормальный» элемент поверхности, равный элементу dflk, и все сегменты над ним ортогональны всем сегментам элемента dflk. Очевидно, что dfikdf * k = 0. 3.
Интегрирование по гиперповерхностям, т.е. трехмерным многообразиям. В трехмерном пространстве объем параллелепипедов, Состоит из трех векторов и, как хорошо известно, равен кубическому определителю, состоящему из компонентов этих векторов. В четырех пространствах объемная проекция «параллелепипеда» (т. Е. «Области» гиперповерхности) представляется аналогичным образом.
Состоит из трех 4 векторов dxr, dx, r, dx1,1 \ они определены раздел dx * dxfi dxni DXK DX’K DX «K, dx1 dx’1 dx «1 dSikl = Антисимметричная тензорная компонента 3 ранга с 3 индексами. Удобнее использовать двойной 4-вектор dSl для тензора dSikl в качестве интегрального элемента на гипервекторе. dSi = — \ e iklmdSklm, dSklm = enklmdSn. (6,12) В то же время dS ° = dS123, dS1 = dS023, …
Геометрически dSl представляет собой вектор 4 того же размера, что и «площадь». Направление элемента гиперповерхности перпендикулярно этому элементу (то есть перпендикулярно всем линиям, проведенным на элементе гиперповерхности). В частности, dS0 = dxdydz, То есть это элемент трехмерной объемной дв-проекции сверхмощных элементов Вращение системы координат не меняет 4 пробела 1).
Как и в теореме Гаусса и Стокса для трехмерного векторного анализа, существует теорема, позволяющая 4-мерная интеграция друг с другом. Интеграл по замкнутой гиперповерхности может быть преобразован в интеграл по 4 объемам, вложенным в него. Элемент интеграции оператора dSi: Это выражение является обобщением теоремы Гаусса.
Интеграл на двумерной поверхности преобразуется в интеграл на «покрытой» верхней поверхности путем замены элемента. Интегрируем df * k в оператора: Интеграл на 4D замкнутой линии преобразуется Заменив интеграл по покрытой им поверхности x ‘°, x71, x / 2, x / 3, интегральный элемент dQ заменяется на Известный как «J dQ». dQ ‘= dx’ ° dxn dx’2 dx, s, a dSi- »• (6.14) Например, для интеграла вектора Ar / (6.15) (6,16) Например, интеграл от антисимметричного тензора Agk У нас есть (6,18)
Задание 1. Найти закон преобразования симметричной 4-тензорной компоненты Agk При преобразовании Лоренца (6.1). Решения. 4 Рассмотрим тензорные компоненты как продукты 2 составляющих 4 вектора, / 2 1 (100, 9-4 ’01 4— 1-v * / A A + 2s c2) ’ A11 = (A’11 + 2 ^ a ’01 + Y_a ’00) V2 / c2 V s s ‘ ^ 22 _ ^ / 22 ^ 23 _ ^ / 23 ^ 12 _ 1 (л / 12, В 4/01 (л, V 2 \ V Ву, V ./11 г / л-V 2 / с 2 VС L01 = 1-V2 / c с / 1-V2 / с2 l ‘u1 (l + Ґl) + Y-a’00 + -L’ 1 v s2 / s s 02 1 (л Ю2, В (L’02 + — ^ l’12)
И аналогичные формулы для A33, A13, L03. 2. То же касается и антисимметричного тензора Agk. Решения. Координаты х 2 и х 3 не меняются и поэтому не меняются Компоненты тензора L23 и компоненты A12, A13 и A02, L03 преобразуются 4i2 _ A’12 + (В / с) A ‘° 2,0 .2 2 _ A’02 + (В / с) A’- д / 1-U2 / s2’d / 1-U2 / s2
То же самое относится к L13 и L03. По отношению к вращению двумерной системы координат на плоскости ty x ° x 1 (какая конверсия рассматривается) You A01 = —A10, A00 = A11 = 0 составляет тензор асимметричного ранга. Равен количеству измерений в пространстве. Поэтому (см. Примечание, стр. 36) Преобразование не меняет эти компоненты. L01 = L’01.
Смотрите также:
| Преобразование Лоренца в физике | Четырехмерная скорость в физике |
| Преобразование скорости в физике | Принцип наименьшего действия в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
