Оглавление:
Центрально-симметричное гравитационное поле
- Центрально-симметричное гравитационное поле. Рассмотрим гравитационное поле с центром Симметрия. Такое поле Симметричное распределение вещества, в этом случае, конечно, оно должно быть симметричным как в центре, так и в распределителе Материальное движение, то есть скорость каждой точки Надо ориентироваться по радиусу.
Центральная симметрия поля Выражение пространства-времени, то есть интервал ds Одинаково ли во всех точках одной и той же расы Стоя в центре В евклидовом пространстве это расстояние Равен радиус-вектору, в неевклидовом пространстве Это в присутствии гравитационного поля, нет количества, Со всеми характеристиками евклидового радиуса века Тора (при этом делится поровну на расстояние до центра 2n окружности).
то самая распространенная центральная симметрия Новая формула для Людмила Фирмаль
Поэтому выбор «радиус-вектора» Перья не являются обязательными. При использовании «сферического» пространства Ординация r, b, DS2 ds2 = h (r, t) dr2 + k (r, Ј) (sin2 in • dtp2 + d62) + + l (r, t) dt2 + a (r, t) dr dt, (100,1) Где a, h, k и I являются функциями «вектора радиуса» g и «времени».
«Тем не менее, учитывая готовность выбрать систему отсчета, Общая теория относительности у нас еще Динамит для преобразований, которые не нарушают центр Симметрия DS2, это означает, что Coor может быть преобразован Укажите г и т по формуле r = fl (r ‘, t’), t = f2 (r ‘, t’), Где / i и / 2 — функции новых координат r ‘и tr.
- Воспользуйтесь этой возможностью, чтобы выбрать координаты Поскольку g и время t, сначала коэффициент a (g, t) др dt в уравнении ds2 исчезает, затем коэффициент k (r, t) просто равен -r21). последний Означает, что радиус-вектор r определяется как Окружность вокруг происхождения была 27гг (Элемент дуги окружности плоскости b = tg / 2 равен dl = r dp).
Удобно записывать величины h и I с показательными функциями Форматы -ate и c2ei соответственно. Где A и v функции r и t. Так что для DS2 это выглядит так: Формула: ds2 = ev (? dt2-r2 (de2 + sin2 in • dp) 2) -exdr2 (100,2) Х °, х1, х2, х3, сЈ, г, 0, у? , Так что для ненулевых компонентов Метрическое представление тензора goo = ei, gii = -e A, g22 = -r 2, g33 = ~ r2 sin2 c.
С этими значениями вы можете легко рассчитать по формуле Людмила Фирмаль
Очевидно, что g00 = e˜v, g11 = −e˜x, g22 = −r˜2, g33 = −r˜2 sin-2 c. (86.3) Количество Тгк1. Расчет приводит к следующей формуле (Простое означает r и производную по точке над буквой кт дифференциация): r b = 7> G 10 = 7> r 23 = -sin 0 c o s0, (100,3) p0 _ v p i _ _rp A p i _ 1 11-2 е? 1 22-й J 1 00-2 ’ G? 2 = G? S = ;, Г23 = ctgв, Гд0 = r 10 = 7 r33 = — rsm от 26e до x.
Все остальные компоненты Tgk1 (кроме разных компонентов) l) равно нулю от индекса, записанного перестановкой в Чтобы составить уравнение, оно должно быть рассчитано с выражением (92.7)
Тензорный компонент простого расчета приводит В результате получается следующее уравнение: rp 1 _ _ —A с4 1 ” (Bt) + (100,4) \ Г г / г 8 нк ^ 2 _ 8 нк ^ 3 _, 1/2, v ‘-A’ -l 2 — h — e ^ + — + _-j + + 5e «(и t-t) ‘(м 5) «^ = — ^ (7-7) + 7. (йоо-ин) Tq = -e_A- (100,7) Г (Остальные компоненты в уравнении (95.6) также исчезнут). Компонент тензора энергии импульса можно выразить через плотность энергии с помощью уравнения (94.9).
Вещество е, его давление р и лучевая скорость у. … Уравнение (100.4) — (100.T) является максимальным Заканчивается в очень важном случае центросимметричного поля Внутри пустоты, то есть вне масс, которые ее создают. Если тензор энергии-импульса равен нулю, получается следующее уравнение: e_A (7 + 7) -? = 0 ‘<100’8> e «A (7-?) +? = 0- (100’9) A = 0 (100,10) (Четвертое выражение, выражение (100.5) может быть опущено.
Поскольку это результат трех других уравнений, он должен течь Мнение). (100.10) показывает, что A не зависит от времени. К следующему Сложив уравнения (100.8), (100.9), A ‘+ v1 = 0, т.е. А +! / = / (*), (100,11) / (/) Функция только для времени. Но выберите интервал DS2 В форме (100.2) Преобразование свободного времени вида t = f (tf).
Такое преобразование Это эквивалентно добавлению любой функции к v Вы можете изменить / (Ј) на (100.11) в любой момент времени В ноль. Поэтому А + без потери общности + И = 0. Центральная симметрия гравитации Поля в пустоте автоматически статичны.
Уравнение (100,9) легко интегрируется, e к x = ew = 1 + (100,12) G Бесконечность (r-> oo) e-A = eu = 1 Другими словами, с метрикой автоматически все в порядке, даже если вы находитесь далеко от объекта с гравитацией Это называется Галилео. Константа const может быть выражена просто как Вес, нужно на большом расстоянии, здесь Le слаб, и закон Ньютона был установлен1).
Это goo-1 + 2 (^ / c2, потенциал <p равен его уравнению Ньютона (99.4): ip = —kt / r (ha — общая масса создателя) Тело поля). Это указывает на то, что const = –2kt / s. Это количество Есть измерение длины. Это называется гравитация Body rgus: рг = (100,13) Так что, наконец, найти пространство-время Метрики в форме ds2 = (l-7) 2 ^ 2-7.2 (sin2 ed <p2 + de2) -x fd r jr- (100,14)
Решение этого уравнения Эйнштейна было открыто Шварцзиллем. Дом (С. Шварцшильд, 1916). Он полностью определяет гравий Tational field in void, созданное Центральной SIM Метрическое распределение массы. Подчеркните это решение Это касается не только отдыха, но и путешествий Если только движение имеет правильную симметрию, то масса (Например, симметричная пульсация в центре).
Пожалуйста, обратите внимание Метрика (100.14) зависит только от общей массы гравитации Как и аналогичная проблема в теории Ньютона, тела. Пространственная метрика определяется по следующей формуле Элемент пространственного расстояния: dl2 = ^ dr j + ^ 2 (sin2 dd (p2 + dd2). (100.15)
Геометрический смысл координаты r Метрическая (100,15) окружность с центром в центре поля Равный 27гг. Расстояние между двумя точками r \ и r 2 Тот же радиус дается интегралом G2 [—F = = = r> r2-n- (100.16) J V1-RS / R N Кроме того, Goo ^ 1-выражение (84,1) (dr = -y ^ goo dt / s), это определяет истинное время. доктор ^ дт. (100.17)
Знак равенства встречается на бесконечности, т В реальном времени Поэтому на конечном расстоянии Из масс происходит «замедление» времени по сравнению со временем Это изменится до бесконечности. Наконец, дайте приблизительное выражение ds2 Большое расстояние от источника: ds2 = dsQ-? ^ (Dr2 + c2dt2). (100.18) R и Второе слагаемое — это небольшая модификация Galileo. ds $ метрика.
На большом расстоянии от масс создающих поле Все поля являются центросимметричными. Следовательно, (100.18) определяется Метрика на большом расстоянии от любой системы организма. Общие соображения могут быть выражены как: Внутреннее центросимметричное гравитационное поле воды Гравитационная масса.
Из уравнения (100.6), r- » -> ■ 0 и хотя бы g2, в противном случае правая часть уравнения перевернута m-y от 0 до бесконечности, т.е. Tq особенный при r = 0 Точка. Формальное интегрирование уравнения (100.6) и границ Условие A | r = 0-0 г A = -ln (l-> J T0V d r). (100.19) о (94.10), Tq = e_1 / Too ^ 0 А ^ 0, то есть еА ^ 1. (100.20)
Затем вычтите член уравнения (100.6) из уравнения (100.4), приобретено e- (u ‘+ ao = ^ (m 0 ° -m1) = (Ј +;) (1y; / c2)> 0, G C 1-V / C То есть tu ‘+ X’ ^ 0. Но как г-оса, которая далека от массы, метрика идет В Галилее т. Е. 0, A — >> 0. Так из v1 + A ‘> 0 Это во всех пространствах V + A ^ 0 (100,21) Поскольку A> 0, v> 0, то есть ev ^ 1. (100.22)
Полученное неравенство показывает Пространственные метрические свойства (100,16), (100,17) и прогрессия ча Сова в центросимметричном поле внутри пустоты принадлежит ей Такая же мера для поля в гравитационной массе. Когда гравитационное поле создается сферой Для радиуса a тогда r> a, Tq = 0. Для точек, где r> a Следовательно, уравнение (100.19) имеет вид A = -In (я № 0
С другой стороны, вы можете подать заявку здесь По формуле (100.14) L = —In (l — 2L Сравните оба выражения, и вы найдете выражение но t = J J T0 ° r2dr, (100,23) о Определение общей массы объекта с тензором энергии ЧСС Специально для статического распределения веществ Поскольку тело имеет Tq = есть, T- ~ R JЈr2dr. (100.24) о
Обратите внимание, что интеграция выполняется 47gg2b? G, в то время как элементы объема пространства заполнены рика (100,2) dV = 47 гр2 л / 2 с? г и в соответствии с (100.20) EL / 2 ^ 1 d, где разность представляет собой гравитационный дефект Вес тела. Задача 1.
Найти инвариант тензора кривизны метрики Шварцшильда Да (100.14) Решения. Расчет по (92.1) с использованием Ggk1 из (100.3) (или расчет по формуле: Полученный в вопросе 2 § 92) отличается от следующих значений: Нулевая компонента тензора кривизны: р _ р _ доза_ рг (р-рг) — * b0101 ок. 5-fb0202 .9 l-9 5 2 г т син2 Rl 212 = Rl3o 3n =, Tg —— Г, # 2 3 2 3 = ~ r r g S m 2 c. см в 2 (р-рг)
Для инвариантов D и I2 (92.20) * (Продукты с участием Dual Tensor Likim в точности равны нулю Тем не менее). Тензор кривизны Петрова типа D (действительное число Инвариант = Λ <2> = —rg / 2r3). Инвариант кривизны Он имеет особенность только в точке r = 0 и не имеет особенности при r = rg. 2. Определить пространственную кривизну для той же метрики.
Решения. Пространственная тензорная составляющая кривизны Pap ^ s Можно ли это выразить в компонентах тензора Пап (и тензоре 7 а / с)? так Достаточно рассчитать только Rar (см. Вопрос 1 в §92). Тензор Рар Выра Рик толкается так же, как представлен гик. Со значением 7 ар
Это происходит при расчете из (100.15). p 0 _ _ Gy rg _ rg 6 В 2g3’g3 Отметим, что для f / 3, Pa = 0 RC, Ј> 0, <0 и Р = = 0. Согласно формуле, полученной в вопросе 1 §92, Prgrgv = (Pr + RCBrr’ee = -P ^ lrr’fee, Priprip = PB 5 Pdipdip = Pr ^ Fee ^ fipip • После этого (см. Примечание, стр. 355), в случае «плоского», вертикального Радиальная, гауссова кривизна k = Rervg. = _ p r> 0 июнь (Это случай маленького треугольника, нарисованного на графике «Плоскость» возле пересечения, где радиус является вертикальным, Общий угол больше чем тг).
В случае «самолета», проходящего через центр, Гауссова кривизна K <0, это сумма нарисованных углов Небольшие треугольные кости менее тг (однако, Последнее свойство не относится к треугольникам, которые охватывают центр Сумма углов таких треугольников больше, чем m). 3.
Определите форму вращающейся поверхности, на которой вращается геометрия Это будет то же самое, что и «самолет», проходящий через начало координат. В центрально-симметричном гравитационном поле внутри пустоты. Решения. Геометрия поверхности вращения z = z (r) (в цилиндрах координаты) определяется по длине элемента dl2 = dr2 + dz2 + r2 dtp2 = dr2 (1 + z 2) + r2 dip2 Сравните с элементами «плоскости» длины (100,15) = тг / 2 ‘I 7 2 = g 2 dji p 2 + I dr2 1-рг / р ‘ узнать Откуда z = 2y / rg (r-rg).
Если r = rg, эта функция имеет особенности или точки ветвления. Это Эта ситуация имеет пространственную метрику (100.15) Противоположность метрики пространства-времени (100.14) Специфичность при r = rg. Общие свойства геометрии показаны в предыдущем выпуске прохождения Его также можно найти через центральное «лицо», учитывая следующее: Кривизна визуальной модели получена здесь.
4. Преобразовать интервал (100,14) в координаты, где существует пространство Фактическая метрика будет в конформной евклидовой форме (т.е. dl2 пропорциональна Верный евклидову выражению). § 100 Центросимметричное гравитационное поле 409 Решения. предположение ‘■ =’, (1 + v) 2 ’ Получить из (100.14). — »G / (4p) ‘ ds2 = л + рг / (4р) C2 j, 2 at- (l + (dp2 + p2d62 + p2 sin2 Odip2). V 4p / Координаты p, 6 (p называется изотропной сферической координатой.
В качестве альтернативы можно ввести изотропную декартову координату x. y, z. В частности, приблизительные значения для больших расстояний (p rg): ^ 1- ^ jc2dt2- ^ 1 + — ^ (cfcr2 + dy2 + dz2). 5. Получить центросимметричное гравитационное уравнение Для веществ в прилагаемой системе отсчета.
Решения. Два возможных преобразования с координатами r, t Сначала с помощью элемента интервала (1 0 0,1) Установите коэффициент dr dt a (r, t) в ноль, затем Направьте лучевую скорость материала на ноль (другие компоненты сразу Не существует из-за центральной симметрии). После этого Дата может быть произвольно конвертирована r = r (r), t = t (t ′).
Указывает радиальную координату и время, выбранные таким образом Через R и m и коэффициенты h, k, / — соответственно -e, -e ^, ei (A, / l, v — функция um). Далее про разнос элементов ds2 = c2 ei dr2-exdR2-e ^ (d02 + sin2 0 d (f2). (1)
Компоненты тензора импульса энергии в сопутствующей системе равны Смотрите также: T0 ° = r, Tl = m | = TI = -p. Расчет дает следующее уравнение поля 1): 8тг 1 87г до 1_ т = -t-p = -e с4 р 2 8tgk 2 87rfc 1 _ Я Я 4 Я Я ^ 1 0 5 87 г / г 87 г до -х -Т о = — ~ е C s 8 штук 1 ~ ^ T ° ~ .’2 d- \ ^ + mA2) -em, (2) 2 / V 2 4 \ (/ 2n r / // H, -i » / 2- |, -2r » / l // I / l ‘2- / x / L \ / — ^ / \ L / -, b / l / v / \) -), — + ^ e_I / (Az> + / iz> -A / i-2A-A2-2D- / i2), (3) 3 / .2> 4 * ‘2 ^ 2 -1-> е 2 (Простое означает производную по i 2, а точка означает производную по st).
Общее соотношение X, l можно легко найти, Начиная с уравнений поля, включенных в уравнение, Tk k = 0. Используйте уравнение (86.11), чтобы получить следующие два уравнения: A + 2 / i = —, v = ——— ^ P_ (6) p + Јp + Ј Если p известен как известная функция, уравнение (6) интегрируется в следующем виде: A + 2fi = -2f ——- 1 / i (R), v = -2f — b / гМ, (7) J p + ЈJ p + Ј
Здесь функции fi (R) и / 2 (m) могут быть выбраны произвольно Учитывая возможность любого преобразования вышеуказанной формы R = R (R ‘), m = m (m,). 6. Найти уравнения, определяющие поле статической гравитации В пустоте вокруг неподвижного осесимметричного тела (Н. Вейль, 1917).
Решения. Цилиндрический статический элемент Пространственные координаты x1 = (p, x2 = p, x3 = z находятся в виде aj 2 v 2 j! 2 2 u / j 2, j 2 \ s = есат-еdip-е ^ уар + dz), Где Cl и x являются функциями от p и z. Это представление захватывает выбор координат P = p (p, z), z = z (p, z), умножение до преобразования Только квадратичная форма dp2 + dz2 с общими множителями.
Из уравнения # 0 = + v, p (v, p + Chr) + 2v, z, z + 4z)] = # 1 = —e ^ [2 ^, p, p + uj, p (y, p + o;) / 0) + 2a;) Z) Z + + ^, z)] = 0 (Здесь индексы p и z означают производную по p и g), взяв их сумму, узнать P, p, p + p ‘, z, z = 0 5 Расположение показано p \ p, z) = e (v + u,) / 2. Следовательно, p ‘(p, z) — гармоническая функция переменных p, z.
и Согласно известным свойствам таких функций, это сопряженная гармоническая функция z (p, z), такая как p + iz = f (p + iz), Где / — аналитическая функция для комплексной переменной p — \ — iz. Теперь, если Выберите p ‘, zl в качестве новых координат и для предварительной подгонки p, z — Y p, z есть e ^ (dp2 + dz2) = e ^ ‘(dp2 + dz2), Где р! (P, z) — новая функция.
В то же время около es = p, 2e ~ u; Установите w + v = 7, пропустите все штрихи и напишите ds2 в форме ds2 = e1 dt2-p2e ~ «dip2-ey ~» (dp2 + dz2). (1) Это метрическое уравнение я? Компилирование O, R3 ~ R2 = 0, R3 = 0 i A (p ^ U ^ = 0, (2) R Dr ^ Dr ‘DZ do _ di di do _ P \ (d v \ 2 (®u \ 2) / o \ DZ ^ DR DZ ‘DR 2 \ DZ’ -I § 101
Движение в центросимметричном гравитационном поле 411 Отметим, что (2) имеет вид уравнения Лапласа для цилиндрического корура. dinata (для функций, которые не зависят от φ). Если это уравнение решено, Далее функция 7 (p, z) полностью определяется уравнениями (2) и (3). отдаленный Функции v и 7, которые создают поле тела, стремятся к нулю.
Смотрите также:
| Тетрадное представление уравнений Эйнштейна | Движение в центрально-симметричном гравитационном поле |
| Закон Ньютона | Гравитационный коллапс сферического тела |
