- Р. Браун обнаружил в 1827 году, что мелкие частицы микро-и сверхмикроскопических (коллоидов), взвешенные в жидкости, имеют постоянное хаотичное непрерывное движение. Многочисленные экспериментальные исследования*) показывают, что это движение не имеет ничего общего с внешними воздействиями, а при повышении температуры оно увеличивает свою живость и зависит от размера частиц и вязкости жидкости. Чем меньше размер частиц и чем меньше вязкость жидкости, в которой находятся частицы, тем активнее движение частиц. Такое же явление наблюдается и в частицах, взвешенных в газах, например, частицах, составляющих табачный дым. При этом явлении наблюдается тепловое движение взвешенных частиц.
Количественная теория явления, разработанная с этой точки зрения А. Эйнштейном и M. It была дана смольковским, а позже ее существенные черты были блестяще подтверждены опытом. Позже, различные другие явления, подобные броуновскому движению были discovered. It могут быть колебания тока в проводнике, дрожание зеркала гальванометра, подвешенного на упругой нити в Газе и др. 3.В основном во всех этих явлениях мы имеем дело с колебаниями, вызванными тепловыми движениями.
Изучая их, вы заинтересуетесь теми качествами, которые меняются со временем. В теории такого рода явлений процессы в системе рассматриваются как «случайные» процессы. Они изучаются статистическими методами. Статистические методы, используемые в теории этих явлений, представляют собой развитие методов, приведенных в работах Эйнштейна и смолховского.
Теория броуновского движения (и более сложных явлений такого рода) основана на идее, что частицы находятся под влиянием случайных толчков от молекул окружающей среды. Действие. • ) М в сборнике для ознакомления с результатами экспериментальных работ. Смотрите основную статью Смолуховского. Эйнштейна. Смолуховский М. броуновское движение: пер. — М.. ОНТИ, 1936, и книга: Перрин I,’.Коричневое движение: Пер из Франции-СПб.: общественный интерес, 1912.Также Перрин Яс. Атомы.- М.. Государственное Издательство, 1924.- (Современные проблемы естествознания, АПТ.20).
Эти толчки приводят к тому, что наряду с систематическим воздействием (трением) среды на движущиеся частицы среднее (статистическое) значение кинетической энергии поступательного движения составляет (3/2) кт (то есть значение, вытекающее из закона равномерного распределения степеней свободы). Во-первых, мы устанавливаем, как смещение броуновских частиц зависит от времени. Рассмотрим смещение частиц за достаточно большой промежуток времени так, чтобы силы, действующие на броуновские частицы со стороны окружающих молекул, за этот промежуток времени многократно меняли свое направление.
То есть для частиц в Газе это время должно быть значительно больше временного интервала для 2 последовательных столкновений частиц и молекул газа. Рассмотрим одномерное броуновское движение[т. е. это движение проецируется в определенном направлении и рассматривается как ось x! Найти среднее смещение квадратов из заданных time. In в данном случае это необходимо: здесь «среднее» (и» вероятность») понимается, естественно, не как среднее по времени, а как среднее по множеству частиц. Для такого достаточно длительного временного интервала можно предположить, что перемещения частиц из 2 неперекрывающихся временных интервалов статистически независимы друг от друга.
Это основное допущение позволяет установить временную зависимость среднего квадрата смеси. Сначала рассмотрим случай, когда отсутствует внешняя сила (например, гравитация).Поэтому существует также возможность смешивания частиц в разных направлениях. Пусть путь перемещается между временными интервалами(0, 4) » = x. 3 | = X | -на интервале (O, 41) 4 Путь перемещается! 4; » ₂ — x-x-это путь, который вы переместили в течение интервала (4-4!).
Статистическая независимость z и zn и одинаковая вероятность положительных и отрицательных смещений z = z,= » = » 1 = 0, за счет чего получены z, z = c, br = 0、 ？=(*₁+«C) ’ = 4 + 2zl = «1 +» *• br — p(4) и 4 = p (4₁), 3!Я введу обозначения! =φ (4-4X).Далее получаем уравнение функции φ (4) — φ(41)+φ (4). Его достоинство： Ф (4) — хг-З ’ ‘ 2 £ > 4, (53.1） Где O-константа(31].Особенности взаимоотношений(53.1） — Пропорциональность среднеквадратичного смещения в 1-й раз.
Важно отметить, что случайные функции играют очень важную роль в теории случайных процессов, поскольку они обладают тем свойством, что изменения в разных временных интервалах статистически независимы друг от друга, как, например, рассмотренная нами ранее функцияp ( ).Они называются случайными функциями со статистически независимыми изменениями. По-видимому, описанная идея природы броуновского движения справедлива лишь для слишком малого времени intervals. In факт, если//можно неявно считать малым, мы заключаем, что существует бесконечно большое speed.
Факт, средний квадрат скорости Далее рассмотрим более подробно проблему броуновского движения, чтобы убедиться, что перемещение частиц зависит от характеристик окружающей среды и самой частицы itself. To для этого запишем уравнение движения частицы. Во-первых, частица подвержена влиянию сил из своего окружения, а во-вторых, на нее могут действовать внешние силы, такие как гравитация.
Сила, действующая на частицу средой, может быть разделена на систематические части (это сила трения), а случайная часть-это флуктуация этой силы взаимодействия частицы и среды, среднее значение которой равно нулю. Смещение частиц продолжает рассматриваться в течение достаточно длительного периода времени, отвлекая внимание от микротреморов очень малых размеров particles. So, можно взять формулу длины силы трения, которая эффективна при движении с постоянной speed. In другими словами, предполагается, что сила трения пропорциональна скорости. Его составляющая равна-kx, где k-коэффициент трения*). * ) Что такое движение Брауна?
- Действительно, число Рейнольдса p Т. е.=Лиам/Д. Среднее среднее Если вы хотите ускорить джиттера. Так… Уравнения (53.2） Кроме того, при решении этой задачи нельзя не учитывать, что инерция движения частиц принимает вид: — ЛЛ + / + Х = О Где Х обозначает составляющую внешней силы, зависящую от расположения частицы, и/является случайной частью воздействия на частицы окружающих молекул. Среднее значение / на мгновение равно нулю： 7-0. Значение/быстро меняет направление. Рассмотрим случай броуновского движения частицы с внешней квазиупругой силой X = — ax. Для свободного броуновского движения, получить a = 0-й 11-й отсюда. Уравнение движения принимает вид: х + Ах =где A = 2.
(53.3） Решите это уравнение (53.4） Где xa-значение координаты x, равное= 0.^ ( ) Обозначает импульс силы/ (), то есть ^（0-{/（ «）»、 Вы можете переписать выражение (53.4) в форму: (53.5） Где — /(Омо¿0. импульс / промежуток времени force. It предполагается, что эти импульсы статистически независимы друг от друга в разных временных интервалах. Таким образом, импульс силы f (O -), как и в приведенной выше упрощенной модели, смещает частицу、 Случайная функция со статистически независимыми флуктуациями.
(53.6） Поэтому(точно так же, как и выше, на стр. 357、 (h) D равно Средний квадрат импульсов и F с течением времени DL » — = 2VD»、 (53.7） Где B-константа. Если нет внешней силы, т. е. o = 0, то можно видеть, что смещение x-x просто равно T ( ) / A. 2Bt (53.8） Кроме того, исходя из вышесказанного, функция F (t) не имеет производной, поэтому функция/ () в Формуле (53.2) не имеет никакого смысла по своей сути, и это выражение имеет только символическое значение. Уравнение.
Однако (53.5) будет заменено на (53.2) и будет по-прежнему иметь смысл в нашем случае. (Строго говоря, их интегралы следует понимать как интегралы Стилтьеса.） Принимая во внимание, что мы получаем среднее значение координат из (53.5) и dF = 0、 В среднем смещение частиц стремится к нулю экспоненциально. Это вызвано действием квазиупругих и фрикционных сил(поскольку инерция не учитывается, колебаний вблизи положения равновесия не получается).Это должно быть так, потому что систематический эффект, вызванный воздействием молекул жидкости, окружающих броуновские частицы, рассматривается некоторыми терминами трения, и случайная часть исчезает в центре.
Если мы квадрат среднего (53.5)、 ⁱe e e ’> dF(ft)dF(6’)。 Здесь квадрат Интеграла описывается в виде двойного интеграла, а среднее берется под знаком интеграла. Благодаря (53.6)、 Поскольку в Граале остаются только элементы, связанные с соответствующими интервалами и Хо, результаты, основанные на (53.7) Могу себе представить. Среднее квадратическое отклонение Из этого уравнения, ложное равновесие (53.10） Естественно определить этот предел по среднему значению x. это делается при термодинамическом равновесии*).Для этого последнее означает использование теоремы о равномерном распределении、 КТ. (53.11） Если приравнять (53.10) и (53.11), то B = kKT.
(53.12） Так как должно быть значение величины B, определяющей силу удара со стороны молекул, окружающих частицы, то оно не зависит от величины a, характеризующей внешнюю силу при наличии внешней силы, B равно 1. Если вы установите (53.9)в (53.12),、 Мне пришлось. Теперь возвращаемся к делу, а дальше идем до предела Поэтому для свободного коричневого упражнения (53.14)） Поэтому коэффициент диффузии 0 равен (53.15） Это формула Эйнштейна, связывающая коэффициент диффузии O и коэффициент трения L. Ключевой момент рассуждения более подробно показан в N 54, 60.
В случае броуновского движения сферических частиц в жидкости коэффициент трения может быть выражен уравнением Стокса, полученным из гидродинамики вязкой жидкости*）： L =хорошо], (53.16） Жидкость. Тогда получается Где a-радиус шара, а c-вязкость Соотношение (53.17） Эта формула подразумевает увеличение живучести броуновского движения с увеличением температуры и уменьшением размера частиц, а также независимость от массы particle. In броуновское движение газа, уравнение Стокса не применимо, если размер частиц мал по сравнению со средним свободным путем газа molecule. In в этом случае коэффициент трения можно получить из кинетической теории газов**).
Из (53.14) можно легко получить формулу среднего квадрата расстояния r1 в пространстве, где частица движется между временными интервалами I. By симметрия и (53.14)、 = 2£> /、 Откуда? Г2-я= + р * + г!- 6О.（ — Многократно проверенные формулы. Заметим, что соотношения, подобные (53.12), появляются в теории всех явлений, сходных с Броуновскими motion. It следует отметить, что газ может быть получен путем непосредственного расчета силы трения как эффекта разности ударов молекул, окружающих переднюю и заднюю частицы, так и путем расчета изменения силы удара с учетом изменения частоты удара.
Это соотношение необходимо для того, чтобы имел место закон равномерного распределения, поэтому если в системе термодинамического равновесия возникает броуновское движение, то оно всегда должно быть met. So например, если Броуновская частица заряжена, то помимо воздействия молекул среды на нее будет действовать электромагнитная сила от равновесного излучения, которая обязательно присутствует. Импульс ДА ’, полученный между Д1, импульс, порожденный ударом д / ⁷ 、 * ) Например, см. Планк М. введение в теоретическую физику: Пер. С ним, 2-е издание-М.: ОНТИ, 1932 г.; почин Н. Е., » кабель И. А. поте И. В. теоретическая гидродинамика.- М..
Гостехиздат, 1948, Часть II, 5 23. ** ) Например, смотрите следующее: Герцфельд К. кинематика материи: Пер. О нем-М.: ОНТИ, 1935, гл. I, 5 24; Лоренти Г. Л. статистическая теория термодинамики: Пер. С Французского-М. Онти, 1935, 4-я лекция§ 35. Разрядная сторона DE » DE = DE. + ДЕ., Поскольку эти 2 эффекта независимы, средний квадрат DE равен DR — = DE + DE? Она будет равна. __ Все еще предполагая де? = 2В, Д2, де? = 2BeD (B = B,+ B получается.
Если частицы не заряжены, то действием окружающего излучения можно пренебречь. Только раздел B,’ и коэффициент трения A)связаны в соответствии с (53.12). Б. = Л. С. А. Если частицы движутся в вакууме под действием одного излучения, то только в enters. In в этом случае сила, аналогичная трению, ее коэффициент Когда действуют оба фактора, коэффициент трения становится A = L,+ A. соотношение B = b.
Смотрите также:
