Числовая последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Например, последовательность 
является бесконечно малой, так как ее предел равен нулю (
). Последовательность 
также бесконечно малая, так как 
Последовательность {
} называется бесконечно большой, если для любого наперед заданного положительного числа 
найдется такой номер элемента 
, что для всех 
выполняется неравенство 
. В этом случае пишут: 
.
Пример №8.5.
Покажите, что числовая последовательность {
} — бесконечно большая.
Решение:
Какое бы положительное число мы ни выбрали (например, 
), найдется равное ему (если — натуральное) или большее его натуральное число (
), что для всех (
) выполняется неравенство 
. Следовательно, 
, т.е. числовая последовательность {}- бесконечно большая.
Аналогично, числовая последовательность 
из примера 8.2 — бесконечно большая и 
Установим связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
Теорема. Пусть {} — бесконечно большая последовательность, тогда последовательность обратных величин 
— бесконечно малая.
И обратно, если {} — бесконечно малая последовательность (причем 
), тогда последовательность обратных величин — бесконечно большая.
Так, если последовательность {} — бесконечно большая, то последовательность обратных величин — бесконечно малая.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Ограниченные и неограниченные последовательности. |
| Предел последовательности. Свойства предела. |
| Признак сходимости монотонной последовательности. Число e. |
| Понятие предела функции. |
