Оглавление:
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 3.5. Функция 
называется бесконечно малой функцией (БМФ) в точке 
(или при 
), если 
.
По определению предела функции в точке:
Аналогичным образом определяются бесконечно малые функции (БМФ) при 
.
Теорема 3.3. Алгебраическая сумма и произведение любого конечного числа БМФ при , а также произведение БМФ на ограниченную функцию, являются БМФ при .
Доказательство следует из определения предела функции по Гейне и теорем о БМП.
Пусть в некоторой проколотой окрестности точки 
определены функции 
, являющиеся БМФ при .
Определение 3.6. Функция 
называется БМФ более высокого порядка, чем 
при , если 
.
Если при этом 
, то называется БМФ порядка 
по сравнению с БМФ при .
Обозначается: 
при .
Определение 3.7. Функции и называются БМФ одного порядка при , если 
, где С — конечное число, отличное от нуля.
Определение 3.8. Функции 
называются эквивалентными БМФ при , если 
.
Обозначается: 
при .
Пример 3.10.
Функции 
являются при 
БМФ одного порядка.
Действительно,
Пример 3.11.
Функция 
является при БМФ второго порядка малости по отношению к БМФ 
.
Действительно,
Теорема 3.4*. Предел произведения или частного БМФ не изменится, если любую из них заменить эквивалентной ей БМФ.
Пусть 
— БМФ при .
Имеют место следующие эквивалентности:
Пример 3.12.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 5.
Как и в случае установленной в теореме 2.2 связи последовательности, ее предела и БМП, аналогичная связь наблюдается и между функцией, ее пределом и БМФ.
Теорема 3.5. Число А является пределом функции 
в точке тогда и только тогда, когда имеет место равенство
где 
— БМФ при 
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть 
. Тогда, обозначив 
, получим
т. е. 
— БМФ при 
.
Достаточность. Пусть 
, где 
.
Покажем, что 
. Имеем
Определение 3.9. Функция 
называется бесконечно большой функцией (ББФ) в точке 
(или при ), если 
. В этом случае пишут: 
. Если 
, если 
.
По аналогии с ББП, можно сформулировать основные свойства ББФ:
1. Произведение двух ББФ есть ББФ.
2. Если в некоторой проколотой окрестности точки 
для функции 
выполнено условие 
, где С — константа, а 
— ББФ при 
, то функция 
— ББФ при .
3. Если 
— ББФ при , то функция 
БМФ при . Если 
— БМФ при (причем 
в некоторой проколотой окрестности точки 
), то функция 
— ББФ при .
Заметим, что в случае вычисления предела выражения 
при 
, где 
— БМФ при , считают, что получена неопределенность типа 
; в случае вычисления предела выражения 
при , где 
— ББФ при , считают, что получена неопределенность типа 
; в случае вычисления предела выражения 
при 
, где 
— ББФ при 
, считают, что получена неопределенность типа 
; в случае вычисления предела выражения 
при 
где 
есть БМФ и 
есть ББФ при , считают, что получена неопределенность типа 
. В решении задач встречаются также неопределенности типа 
. Выражение «раскрыть неопределенность» означает — найти предел соответствующего выражения, если он существует.
Пример 3.13.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 3.14.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 3.15.
Вычислить 
.
Решение:
Ответ: 3.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
