Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции (б.м.ф.)

Определения и основные теоремы

Функция называется бесконечно малой при ,
если

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Аналогично определяется б.м.ф. при , , : во всех этих случаях .

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами и т. д.

Примерами б.м.ф. служат функции при при при .

Другой пример: , — бесконечно малая последовательность.

Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Пусть и — две б.м. функции при . Это значит, что , т. е. для любого , а значит, и найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

и , т. е.

Пусть — наименьшее из чисел и . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение

Таким образом,

Это значит, что , т. е. — б.м.ф. при .

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.

Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Пусть функция ограничена при . Тогда существует такое число , что

для всех из -окрестности точки . И пусть — б.м.ф. при . Тогда для любого , а значит, и найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Обозначим через наименьшее из чисел и . Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, . А это означает, что произведение при есть бесконечно малая функция.

Следствие 17.1. Так как всякая б.м ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Пусть , a . Функция может быть представлена в виде произведения б.м.ф. на ограниченную функцию . Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное есть функция бесконечно малая.

Покажем, что функция ограниченная. Возьмем . Тогда, на основании определения предела, найдется , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . А так как , то , т. е. . Следовательно,

т.е. функция — ограниченная.

Теорема 17.4. Если функция — бесконечно малая , то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция — бесконечно большая, то — бесконечно малая.

Пусть есть б.м.ф. при , т. е. . Тогда

т.е. , т.е. , где . А это означает, что функция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное утверждение.

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда , но они справедливы и для случая, когда .

Пример №17.1.

Показать, что функция

при является бесконечно малой.

Решение:

Так как , то функция есть бесконечно малая при . Функция , ограничена .

Функция представляет собой произведение ограниченной функции на бесконечно малую . Значит, — бесконечно малая при .

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 17.5. Если функция имеем предел, равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , т. е. если , то .

Пусть . Следовательно,

т. е. . Это означает, что функция имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через . Отсюда .

Теорема 17.6 (обратная). Если функцию можно представить в виде суммы числа и бесконечно малой функции , то число является пределом функции , т. е. если , то .

Пусть , где —б.м.ф. при , т. е. . Тогда

А так как по условию , то . Получаем

А это и означает, что .

Пример №17.2.

Доказать, что .

Решение:

Функцию можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. (при ), т. е. выполнено равенство . Следовательно, по теореме 17.6 получаем .

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Предел функции при х к бесконечности

Бесконечно большая функция

Основные теоремы о пределах

Признаки существования пределов