Асимптоты графика функции: определение, как найти, пример с решением по высшей математике

Оглавление:

Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (см. с. 81).

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая Асимптоты графика функции является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или .

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки Асимптоты графика функции кривой от прямой равно . Если , то . Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой . Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения Асимптоты графика функции , вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая Асимптоты графика функции имеет вертикальную асимптоту (см. рис. 157) , так как .

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

Найдем Асимптоты графика функции и .

Пусть Асимптоты графика функции — произвольная точка кривой (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой находим расстояние от точки до прямой (25.5): .

Условие Асимптоты графика функции будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т. е.

Отсюда следует, что Асимптоты графика функции , где бесконечно малая: при . Разделив обе части равенства на и перейдя к пределу при , получаем:

Так как Асимптоты графика функции и , то

Из условия (25.6) находим Асимптоты графика функции :

Итак, если существует наклонная асимптота Асимптоты графика функции , то и находятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.

Если хота бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая Асимптоты графика функции наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если Асимптоты графика функции , то . Поэтому — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .