Асимптотические степенные ряды

Оглавление:

Асимптотические степенные ряды

Асимптотические степенные ряды. Если функция / определена в окрестности x0 и в пределах нее дифференцируема n раз, то известно, что существует полином Pn (x) со степенью N или меньше, то есть полином Тейлора следующего вида (см.§ 13.1). 1(х)= РП (х)+ о (((Х-Х»)»)), х-х0, где N = 1, 2,…(37.72） В то же время Пн(Х)= / » −1(Х)+(Х -«) «(37.73） Из (37.72) и(37.73) разность^(x) Pn-1 (x) может быть представлена в следующем виде: /()Пн-р(х)=(а-л.0)Я + 0((а-со)),-х0、 Следовательно, асимптотические равенства Ф () ПН-1(х)〜 (*о) н, а-переменного тока. Таким образом, член полинома Тейлора Pn(x) (ряд Тейлора, если функция/бесконечно дифференцируема в точке dc0) может быть определен последовательно как член формы, асимптотически равный (x-x 0) π разности} (x)-Pn ^ x { x) для x-x0. Вы можете сделать то же самое, когда вы смотрите на функцию Infinity.

Как упоминалось выше, для n-1 легко показать, что условие (37.80) равно существованию конечного предела. Людмила Фирмаль

To будьте ясны, предположим, что функция / определена для x> m и имеет конечные ограничения ТМ /(х)= А0 (37.74） И Так что Mn [/(x) a0] = 0. * «■)00 Иногда возникает вопрос, что разность/(x)-a0 стремится к нулю, но каков порядок уменьшения этой разности? 5 декабря § 37.Должна ли серия Число оказывается тем, что существует НХ) ОО—*, х—(ОО, (37.75） То есть (см. теорему§ 8.3 1） /.(х)-о0 =»-+ ОО), постоянного тока + ОО,(37.76） Откуда х [/(ДС)-А0] = АГ \ Хо(л / л), ДК-к + ОО、 И так как Om xo (1 / x)= 0 по определению символа、 Шестьсот пятьдесят шесть Золото X [/«(х)-А0].(37.77） л.«(ОО Напротив, от(37.77) x [f (x) a]] = a1 + e (x), тe e (x)= 0、 * 4-ОО И так оно и есть.、 /(х)= ОО + ^ = Яо + »+ о (^), ДС-х + ОЭ、 То есть выполняется асимптотическое уравнение (37.76).Если инструкции найдены, вам часто нужно будет найти»следующий член асимптотического разложения»/, как они говорят.

Найти асимптотическое поведение разности/(qc) ^ a0 + ^ х * + ОО. Согласно (37.76), это различие есть не что иное, как o (1 / x), dc-«-4-oo. Может быть следующее число a2: Или то же самое /(х)-!А0+»■）=％+ 0（^ 2）。 х-> + ОО. Золото *Д с ’[ / * ] ■ ’(ля.)*+° −112.• Это условие эквивалентно наличию ограничений В общем、 5,-! (х)= А0+ +％+••■+§ −1。 (n = 1, 2,…(37.78)） ггг ДД-1 «Ся! 』 +Оо, я = 2, 3,…. Многочлен степени n-1 или меньше относительно переменной 1 / dg. 37.10 * асимптотический степенной ряд Шестьсот пятьдесят семь Тогда может быть постоянная an, где существует асимптотическое равенство (37.79） (37.80)） (37.81） (37.82） (37.83） * ^ + ОО. / (* )$я-1(*) ’ Это условие эквивалентно: Ф(Х) 5н-1 (х)=〜+ о ^ ПХ * ОО, это набор 5″(х)= 5″ .1 (X)+ 5 = 2％ * = 0 Вы можете переписать как [(х) 8н М = О (^), х+ ОО、 Или то же самое, в виде Золото xn [/(x) 8n (x)] = 0. ДС » бо Золото xn [/(x) ()] = an. (37.84） «►+СО Указанный предел a-это все i = 0, 1, 2.

Ряд может быть сформирован, если он существует. (37.85） d0+〜+ ^ 2 +•••+» я +••• Этот тип рядов также называется степенным рядом, точнее, отрицательной мощностью целого числа переменной X. Определение 5.Определите функцию/для x> a и тη} (x)= a0.Если существует набор форм (37.85), то частичная сумма X + CO Если условие удовлетворяет (37.79), или эквивалентно либо условию (37.78), либо условию (37.82), либо условию (37.83), то этот ряд называется асимптотическим рядом (или асимптотическим разложением) в значении Пуанкарефункции, как x -°°°. В этом случае они пишут ОО (с?8б） н = 0 Здесь подчеркнем, что знак-это не асимптотическое уравнение, например, в смысле, понимаемом в следующем виде * ’А. Пеканале (1854-1912) французский математик. 22 Кудрявцев Л. Д. Т. один § 37.Должна ли серия Шестьсот пятьдесят восемь Мул (37.79), то есть определение 3, пункт 8. 2, и значение соответствия.

Ряд (37.85) соответствует функции/. Как уже упоминалось, условие (37.80) эквивалентно условию (37.84) таким образом, если функция/присутствует в x + oo, асимптотическом ряду (37.85), то ее коэффициенты an, n = 1, 2…Можно найти последовательно, используя формулу (37.84). если n = 0, то нужно использовать формулу (37.74).Если функция имеет асимптотический ряд, такой как x, -* + oo, то она уникальна, и ее коэффициенты выражаются формулами (37.74) и (37.84).

Напомним, что при расширении функции степенного ряда также была продемонстрирована уникальность ряда, до которого должна быть расширена функция, то есть было доказано совпадение с рядом Тейлора. Людмила Фирмаль

Однако мы отметили, что один и тот же степенной ряд может быть рядом Тейлора различных функций. Аналогичная ситуация характерна и для асимптотических последовательностей. Вы можете видеть, что один и тот же ряд форм (37.85) является асимптотическим рядом+ oo для разных функций. Например, нулевой ряд, то есть ряд, коэффициенты которого все равны нулю、 C1n-0, x 0, 1, 2,…、 это хорошая идея. y +как асимптотический ряд функций, равных нулю во всех точках числовой оси. / 1 (л.) = 0, coCxC +°o, и функция.

Формула Стирлинга.	Свойства асимптотических степенных рядов.
Формула и ряд Тейлора для многомерных вектор-функций.	Кратные числовые ряды.