Оглавление:
Асимптотические ряды
Асимптотические ряды. В § 37.10* было изучено разложение функции асимптотически степенного ряда как x > + oo. Запомните эту строчку АО +〜+ Это называется асимптотическим разложением функции[если ее частичная сумма равна x ° 5и(х)-А0 + … + 54.8.Асимптотический ряд Триста тридцать пять Соответствовать требованиям НХ) 3н(Х)= 0 (г х -+ + + со. Понятие асимптотического разложения функции естественно обобщается на ряд систем функций, образующих так называемую асимптотическую последовательность. Определение 3. ФЛ + 1()= о (РН (х)), х-+ А.
Набор функций, которые определены в проколотой окрестности a (конечное или бесконечное расстояние), все называются асимптотической последовательностью, является беспорядочным соотношением. Людмила Фирмаль
- Примером асимптотической последовательности x > a будет φn (x)=(x-a) n, a = oo или a = oo, если A является конечной точкой, и fl(x) = nr, 1, 2, если n = 0 Определение 4.φ^(χ), η= 0, 1, 2,…Позвольте быть асимптотические последовательности, такие как Х-а. Строки ОФО (х)+ Y1f1 (х)+… + АП ФГР(х)+ …(54.70） x-называется асимптотическим рядом (или асимптотическим разложением) 5и (х)= Орфо (х)+ АГФ! (л.+).. + a » Фя (х) (54.71） Соответствовать требованиям. Любое n = 0, 1, 2,…Ибо существует асимптотическое равенство (х) 8н(х)= о(н(х)), х-+ а. (54.72） Лемма 2.φ^(χ), η= −0, 1, 2,…Асимптотический массив x ^ a. для того, чтобы ряд (54.70) был асимптотическим разложением X-a функции/, необходимо и достаточно: /(х) 5У (х)= 0(φ++. x ^ a, n = 0, 1, 2(54.73).
Другими словами, ряд (54.70) является асимптотическим разложением функции/as x -, а его частичная сумма 8n (x) является только как x-> a, если она функционирует как приближение функции/(x) к 0 (φ+ 1 (x)), то есть ошибка-это порядок, в котором был впервые отброшен член. Необходимости требования сертификации(54.73). i = 1, 2,…Связь (54.72) может быть переписана внутри записи /(х)-5Y_! (х)-АП фи (х)= о (фи (х)), х «а、 § 54.Частичный Интеграл в зависимости от параметров 330. Откуда / (х) −5″~! (х)= АПН (х)+ о(РН(х))= 0(рН (х)), х» -а, N = 1, 2…、 То есть условие (54.73) выполнено.、[] Доказательство того, что государство достаточно хорошо(54.73). (54.73) и (54.69) спасибо、 Ф(Х)-5л(х)= 0(ФЛ + а(Х))= 0(о(ФЛ(Х)))= О(Ф (Х)), Х = а, я = 0.1, 2,…Матчи, (54.72). Тс η= 0, 1, 2,…в случае f (x) 8n (x)= 0 (φя (x)), x + a, (54.74).
- Если он слабее (54.72), то за ним следуют (54.69) и (54.72). То есть все η= 0, 1,2,…Условие (54.74) выполняется означает, что ряд (54.70) является асимптотическим разложением функции/ as x-a. In факт, из η= 1, 2, (54.74)… У нас есть f (x)-(x)= Альфа (x (x)+ 0 (φ (x))= 0 (φ (x))= = 0(о (fl_!(Х)))= 0 (ФЛ〜; (Х)), Х О、 Т. е. условия (54.72). Асимптотическая последовательность fl (x), i = 0, 1, 2,…Но все n = 0, 1, 2,…Неравенство для fl (x )= ^ 0, то функция, которую нужно получить, как и в случае асимптотического ряда возведения в степень. Если функция / разложена по x-e-a в асимптотический ряд (54.70), то такое разложение уникально, и его коэффициенты непрерывно определяются по следующей формуле: G I-1 ОО = ПМ /(х), к = ПГ-л /(х) в Ак (х). х + а Х-У тя \ х） * От-0.
Однако это выражение не всегда полезно для фактического определения асимптотического разложения данной функции. Часто легче получить желаемое разложение другим способом. Например, для интеграции по частям интеграции. Образцы. Разверните функцию асимптотического ряда как x > + oo _ | _°Ми (54.75） Р(х, а)= ^ Х 0、 54.8*.Асимптотический ряд Триста тридцать семь II、 (a> 0-параметр), выберите соответствующую асимптотическую последовательность. С Тогда, согласно критерию Дирихле(см. раздел 33.6), мнимая и действительная части функции P (x, a) являются сходящимися интегралами в x 0.So Интеграл (54.75)также сходится.
Более того, в принципе они не предопределены асимптотической последовательностью, но построены на свойствах этой функции вблизи точки A. Людмила Фирмаль
- Мстить. Не является П х Действительная и мнимая части интеграла Неполный Интеграл Френеля (см.§ 34） + 00 +00 $502СЫ, $ 50202Й0. Х х Чтобы убедиться в этом, достаточно изменить интегральной переменной, Интеграл-п [ХС? = 02. Получить интеграцию (54.75) для каждого компонента + 00. 。 +00 Р(х, а)= ^ = 1а ^ Ш = 1aP(х, п + 1). Х х Если применить это выражение последовательно к значению функции P, полученному с правой стороны, то оно будет выглядеть следующим образом: Р(х, а)=—1aP(х, + 1)== = ^-(а [yayat-1(а + 1) р(х А4-2)] = 1е хаРе хаРе хаРе！Ха (а+ i) 13ех (-1) Gea (A+1)…(а + п-1) «н +1é-1» 4 га.\ 2Г * 4х;1л-пг ИК! ХД (а + 1)…(к + -г-1),» («+!(к + Н) П、 1С, Х Аль. к = 0 К {Ix) ’Р(х, а + п + 1). (54.76)） Ряд 1e1xV1k(а+ −1).
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
