Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов

Асимптотическая оценка основной функции и вычисление предела. Формула Тейлора-Маклорина является мощным инструментом для вычисления узких пределов. Из факторизации некоторых элементарных функций, установленных нами в пункте 2§9, асимптотические * оценки этих функций зависят от их поведения в окрестности точки x=0. Возьмите формулу Маклорина для arctgx с

функциями ex, sinx, cosx, 1P (1+x), (1+x)» и остаточные члены в виде Пеано и держите любое число оценок n-го порядка: . . . +-^+о(х»), п! Х8 5! Х7 7! Х е sinx=X—— 3! o (x2n+2), COS X=1 x2x4Xe2G+-4! 6? £2^+1 (2П+1)! o (x2n+1), (6.81) v2uz y71 ln (l+x)=x- 4 — + 4 —-4 + … +(l)n2L+0 (x»), 2o4P (1+х) » =л+4х+к La2i Х2+… … ++хп+0(х»), Н. У5 УЗ arctgx=x———1——-3 5 u7u2m+1 — +. . . +(1)»+o(x2P+2).

Семь. вот пример использования асимптотической оценки v2n+1 (6.81). 1°. Используя вторую из оценок Людмила Фирмаль

, взятых при N=1(6.81), рассчитаем пределы sinx-x l i m————- = Лим «- >0X3I -, 0 X3 Х—+о(Х4) — х X3 = Лима х — * -0 —+о(х) 3! В Один. 3! ‘ * Выражение x — +a (оценка, характеризующая поведение функции f (x) в данном случае или в случае x->0) называется асимптотическим. 9260CH. 6. Основная теорема о дифференцируемых функциях 2°. Z=lim x — » 0″ _ — Е2-ООС х X3sin х Исходя из формы знаменателя, можно сделать вывод, что решающую роль должен играть четвертый член

на x (в случае sinx=x+o (x)). (6.81) позволяет написать: cosx=1— — + — + о компании(X5), 2! 4! в Sin x~x+o (x), например=1+z+-|~+o (G2). Под Z, что означает — — — — — — получить е (6.82) (6.83) (6.84) (6.85) Отчет Из выражений (6.82), (6.83) и (6.85) это выглядит следующим образом / =Лима x — » 0″ X2X4 1″т+т+о(Х4)1 Х4+о (Си ) X2X От 2 до 24. = Лима ————— х — » -0 1 -} — я(х) 1. =12 (Где символ a (x) обозначает значение°, которое является малым значением при x — >0.) / 3 > х (Sin х-х) 3°. /=li

m cosx+ -). Представляет значение y х — » о\2/1 , икс 2\X (sin X-X) y=cosx-i — — — -. Тогда / =lim y. у вас будет логарифм. \2 / x — » o (Потому что для малого x это выражение положительно): y= ————- cos в x — { — — — — -. х (Sin х-х)\2 / Расчет lim1P г = Лим x — >0x — * 0x (sin x-x)§10. Пример применения выражения Macloreia261 Как 1 га COS X=1 ——— Два. — +o (X5), sinx=x—+ 24 6 О(Х4), получаем lim lnz / =lim х — >Г Х — >0 +^Г+о(Н6

1P0)) — — — +о (Х5)о Теперь рассмотрим в(14-2)=z+o(z). Из этой формулы 1P1+ & Двадцать четыре Икс* Двадцать четыре +о(Х4). И так оно и есть., Вт * 4) Lim в г-Лим х — » 0х->0xi-4 — +О(Х5) Лима x — >0 J_O (x^)24×4~ ~ +o (x)6 < URL-адрес Четыре. Один. Итак / = limz / =e4. x — >0 Программа для вычисления числа E системы Алгол-БЭСМ6, вариант 10-12-69 начальное целое число Z, C, p, n, m\целочисленный массив

a, b, e[0: 601]; m:=400; marg(39, 50, 39, 10, 0, 0); e[0]:=1; B[0]:=1; for/:=1 step Людмила Фирмаль

1until601do «and:=» and= = e And:=0;for n:=1 step 1until tn do beginz Z:=0 step 1until600do a []; c:=a[I]; For Z=a[0]; 0 step 1untildo beginz:=600; C=0 Step 1. [f]+b[i]+p; если p:=0 c<10 и e[z]: = c в противном случае e[z]:=c-10; p:=конец 1N:=1 Шаг 1 до 6 запуск выхода (’10/’,’zd.’, e[0]); для i:=1 Шаг 1 до выхода 590do (‘zd’, e[Z]) конец e

Поиск минимума сильно выпуклой функции	Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функциях
Таблица основных неопределенных интегралов	Понятие несобственного интеграла первого рода