Оглавление:
Аналитическая функция. Дифференциал
Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.
Однозначная функция 
называется аналитической (голоморфной) в точке 
, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области 
, если она дифференцируема в каждой точке 
.
Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное).
Точки плоскости , в которых однозначная функция аналитична, называются правильными точками . Точки, в которых функция не является аналитической, называются особыми точками этой функции.
Пусть функция 
аналитична в точке . Тогда 
. Отсюда следует, что 
, где 
при 
. Тогда приращение функции можно записать так: 
. Если 
, то первое слагаемое 
является при 
бесконечно малой того же порядка, что и 
; второе слагаемое 
; есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции .
Дифференциалом 
аналитической функции в точке называется главная часть ее приращения, т. е. 
, или 
(так как при 
будет 
). Отсюда следует, что 
, т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.
Замечание. Если функция 
аналитична в некоторой области , то функции 
и 
удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа (
, см. п. 72.2).
Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по 
, а второе по 
, получаем:
откуда 
.
Функции и являются гармоническими функциями.
Пример №74.3.
Проверить, является ли функция 
аналитической. Найти ее производную.
Решение:
Находим действительную 
и мнимую 
части функции:
Таким образом, 
. Проверяем условия Эйлера-Даламбера (74.5):
Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости . Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (74.6), например по первой:
т. е. 
.
Заметим, что производную функции можно найти, воспользовавшись определением производной (74.4):
Пример №74.4.
Найти аналитическую функцию 
по ее заданной действительной части 
.
Решение:
Отметим, что функция и является гармонической функцией (
, следовательно, 
).
Для определения мнимой части 
воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера (74.5). Так как 
,
то, согласно первому условию, 
. Отсюда, интегрируя по , находим:
Для определения функции 
воспользуемся вторым условием Эйлера Даламбера. Так как
а
то 
. Отсюда 
и 
, где 
. Поэтому 
. Находим функцию 
:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Свойства основных классов векторных полей |
| Дифференцирование функции комплексного переменного |
| Геометрический смысл модуля и аргумента производной |
| Интегрирование функции комплексного переменного |
