Оглавление:
Для поиска асимптот можно использовать следующий алгоритм:
1. Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения () и проверяем следующее условие: если
, то
— вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим .
- Если
— число, то
— горизонтальная асимптота;
- Если
— бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
3. Для поиска наклонных асимптот находим .
- Если
— число, отличное от 0, то находим
. Тогда
— наклонная асимптота;
- Если
— бесконечность, то наклонных асимптот нет.
Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем — их нет. Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:
Пример №16.1.
Найдите асимптоты кривой .
Решение:
1. Найдем область определения функции: .
Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции
в точке
:
.
Получили, что , следовательно,
— вертикальная асимптота, х—>1
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим :
.
Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя:
. Т.к.
(число), то
— горизонтальная асимптота.
Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту
. Для наглядности график данной функции представлен на рис. 16.2.

Пример №16.2.
Найдите асимптоты кривой .
Решение:
1. Найдем область определения функции: .
Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции
в точке
:
.
Получили, что , следовательно,
— вертикальная асимптота.
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим :
.
Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя:
. Т.к.
— бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
3. Для поиска наклонных асимптот находим :

Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя:
. Итак,
. Найдем
по формуле:
.

Получили, что . Тогда
— наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид:
.
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту
. Для наглядности график функции
представлен на рис. 16.3.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба. |
Понятие асимптот |
Общая схема исследования функции и построения графика |
Понятие неопределенного интеграла. |