Оглавление:
Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости произвольных рядов
Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости произвольных рядов. В этом подразделе мы снова изучаем ряды, члены которых, вообще говоря, являются комплексными числами. Определение 4.Ряд Серия Он сходится. Применяя критерий Коши (35.47)к сходимости ряда, можно видеть: для того чтобы ряд(35.46) сходился полностью, необходимо и достаточно, чтобы было R0, в котором есть такое число r, что все η-η и все целые числа ρ> 0 неравны. Теорема 12.Если ряды сходятся полностью, то они просто сходятся. Доказательство. Пусть ряд (35.46) сходится полностью. То есть, серия (35.47) будет сходиться. Затем, из-за необходимости удовлетворения условия Коши для сходимости ряда (см. теорему 5), существует nE для e 0, и существует неравенство для всех n> n и всех целых чисел 0. Все числа n> n и все p = 0, 1, 2.
Следует иметь в виду, что характеристики абсолютного значения суммы, которое не превышает суммы абсолютных значений членов, остаются действительными для сходящихся рядов. Людмила Фирмаль
- Неравенство Отсюда и неравенство А это значит, что ряд (35.46) будет сходиться из-за достаточности условий Коши на сходимость ряда. Я не уверен. The remark. It Это неравенство имеет смысл, когда правая сторона конечна, то есть когда рассматриваемый ряд сходится completely. In в этом случае абсолютная сходимость ряда также означает нормальную сходимость, поэтому левая сторона неравенства всегда имеет смысл. Формально неравенство (35.48) представляет собой соглашение об использовании символа+ oo(стр. 33 и стр. 546), последовательность сходимости, в которой расходится правый ряд(35.48).
Докажите неравенство (35.48) в случае сходимости Примечание в строке 2 тр ООН Если мы перейдем здесь как M °к пределу, то получим неравенство (35.44). оно показано в Ряд (35.46) состоит из тех же членов, но обычно взятых в другом порядке. Теорема 13.Если ряд (35.46) является абсолютной сходимостью, то ряд (35.49) также дает ту же сумму. Доказательство. Пусть ряд (35.46) полностью сходится. То есть ряд (35.47) сходится, и 2 / и» | = 5.Частичное. Из серии Total (35.47) тогда (см.§ 35.4） Кроме того, независимо от частичной суммы-2 I и% I ряда Существует число n = n (m), и все члены ряда (35.50), входящие в сумму(существует конечное число таких членов), должны иметь число ряда (35.47), не превышающее n.、 Где n = n(m), m = 1, 2,….Таким образом, x * ccI, m = 1,2,… Это (см. лемму 35.4§ 2) означает сходимость ряда (35.50), то есть абсолютную сходимость ряда(35.49).
- Если 2 un = 5, то общее число для ряда (35.49） Он также будет равен 5.Указывает частичную сумму рядов по 5H (35.46). если e 0 фиксировано, то сходимость ряда (35.47） Есть такое количество не Таким образом, неравенство Кроме того, мы выбираем число так, чтобы частичные суммы 5-го ряда (35.49) содержали все члены ряда (35.46) из суммы 8 (35.49) как сумму (другими словами, число m8 не превышает всех членов (35.46) ряда с числами, в числах (ne 35.49) есть числа, которые не превышают ne). пусть m> m. пусть 5m * = 5m-8n. 15 ″ * / 5 ^ *не превышает суммы абсолютных значений членов. Потому что количество этих условиях будет больше, чем n, все условия ^ \ Un\, входит в общую сумму (35.51) спасибо、 Получить около m> m с помощью (35.52) и(35.53). Иначе говоря、 Теорема 14.Если ряд (35.46) полностью сходится с-чемЛибо числовое значение, то ряды^ cn » также полностью сходятся.
Он основан на критериях Коши для сходимости рядов и уравнений. Теорема 15.Серия Y] когда un и zn сходятся полностью、 Тогда их общее число 2 (un + n) также сходится полностью. Он исходит из критерия Коши сходимости рядов и неравенств. Теорема 16.Если сумма этого ряда равна 5 и сумма ряда (35.54) равна$ ’ Доказательство. Создайте следующую таблицу попарных продуктов для членов ряда (35.54). Давайте создадим строку из элементов этой таблицы Элементы расположены в порядке, показанном ниже figure. In место каждой части таблицы, серийный номер указывается как член серии (35.56).
Если ряды сходятся, то все виды попарных произведений располагаются в произвольном порядке и ряды, составленные из членов этих рядов, также сходятся. Людмила Фирмаль
- Докажем, что ряд (35.56) сходится идеально, то есть ряд сходится Для этого достаточно доказать, что из-за неотрицательности ее членов существует по крайней мере 1 подпоследовательность поверх этой частичной суммы (см. статью 35.4 леммы 2). Это сходится с абсолютной сходимостью ряда (35.54).То есть, 0 ^ § ’+ oo, 0 = § » +00.Тогда для частичной суммы порядка ETA ряда (35.57) Итак, подпоследовательность частичной суммы {§»4 ряда(35.57) ограничена вершиной, поэтому этот ряд converges. It означает абсолютную сходимость ряда (35.56) и ряда, полученного любой перестановкой его членов (см. теорему 13).Подобный этому.
Смотрите также:
