Оглавление:
Формула Эйлера для критической силы.
- Это Формула критической силы Эйлера. Чтобы получить критическое напряжение постоянного тока, необходимо рассчитать критическую силу RC, которая является минимальной осевой силой сжатия, которая может удерживать слегка изогнутый стержень сжатия в равновесии. Проблема восходит к 1744 году, когда город Санкт-Петербургская Академия наук впервые была решена академиком
Эйлером. Отметим, что сама постановка задачи отличается от всех ранее рассмотренных разделов курса. Если раньше определить деформацию стержня под заданной внешней нагрузкой, то здесь ставится обратная задача: учитывая кривизну оси сжатого стержня, такой прогиб невозможен
. Одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня(фиг. 553). Мы проигнорировали собственный вес ядра. Людмила Фирмаль
Приложите к стержню нагрузку с продольной сжимающей силой P=P K, которая приложена к центру, придавая ему очень малую кривизну в плоскости минимальной жесткости; Поскольку изгибная деформация стержня предполагается очень малой, для решения этой задачи можно использовать приближенное дифференциальное уравнение изгиба оси стержня (§ 109). Выберите начало координат точки A и направление осей. 553, мы имеем(18.7);§ 201] уравнение Эйлера для критической силы 623 Возьмем сечение на расстоянии
x от начала координат; вертикальная координата изогнутой оси этого сечения равна y, а изгибающий момент равен M(x)= — Ru. В соответствии с. 499, изгибающий момент оказывается отрицательным, а вертикальная ось в выбранном направлении оси y оказывается положительной. (Если стержень изогнут книзу выпуклостью, то момент будет положительным, а y-отрицательным и L4 (x)= — Ru. Дифференциальное уравнение (18.7) принимает только
- заданную форму: DX3 на (33.2) Если обе части уравнения разделить на EJ, а дробь g j представить L3, то получим следующий вид: d3y dx3k? г-0 (33.3) Общее интегрирование этого уравнения принимает вид y=sin k x b cos kx. (33.4) это решение содержит значения k, так как Интеграл констант a и b и величина критических сил нам неизвестны. Условия на обоих концах стержня дают два уравнения в точках x = 0-прогиб j/=0, «» в «x=I» y=0. Из первого условия (sin£x =
0 и c o s£y = L так как sin) 0=£. Итак, криволинейная ось представляет собой синусоидальную волну со следующей формулой У=Sin КХ. Применяя второе условие, подставим выражения j/=0 и x=Z; Получать: 0 = грех КЛ. (33.5) (33.6) Либо A, либо kl равно нулю.
Если а равно нулю, то из уравнения (33.5) следует, что прогиб любого сечения стержня Людмила Фирмаль
равен нулю. XXXIII МИМ. Это противоречит первоначальной посылке нашего заключения. Итак, sin k l=0, и значение k l может иметь значение следующего бесконечного ряда: /г/=0,Т:, 2Г, зл, С.(33.7) Где N-произвольное целое число. Следовательно,=^ -, с тех пор Г_ _ г? И (33.8) Другими словами, нагрузка, которая может удерживать слегка изогнутый стержень в равновесии, теоретически может иметь большое значение. Однако его можно найти и интересным с практической точки зрения, так что минимальное значение осевой сжимающей силы, когда становится возможным продольный изгиб, необходимо принять l=LT W. Поскольку первый маршрут/g=0 должен
обнулить PK, который не удовлетворяет исходным данным, о которых идет речь, этот маршрут должен быть отброшен, а наименьший маршрут-I=1. Тогда мы получаем: (33.9)) (Где J-минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.) Это так называемая формула Эйлера компрессионного стержня с шарнирным концом. Величина критической силы (33.9) соответствует изгибу стержня вдоль полуволны синусоиды[уравнение (33.5）)] j / =A s i n^-. (33.10)) Значения критических сил более высокого порядка соответствуют двум или трем синусоидальным кривизнам. Полуволна(рис. Пятьсот
пятьдесят четыре):. 2Т, х J/=S М-,. ZGx У-Син-г -. (33.11) Таким образом, чем больше синусоидальная ось стержня имеет больше точек перегиба, тем больше должна быть критическая сила. Более полное исследование показывает, что равновесная форма, определенная формулой (33.11), неустойчива; они являются формулой Эйлера для критической силы 625. Только точки В и С (на рисунке будут рехадать в устойчивом виде при наличии промежуточных опор. 554). Таким образом, задача решена, и для нашего стержня минимальная критическая сила определяется по формуле n * E J [2 9] Ось кривой представляет собой синусоидальную волну у=Sin рН я • Значение
постоянной физической величины ли х=/ / 2.: .Единое время Таким образом, а-это прогиб стержня в среднем сечении его длины. При критическом значении силы P равновесие криволинейного стержня возможно при различных отклонениях от его прямой формы, поэтому до тех пор, пока эти отклонения малы, отклонение f■остается неопределенным. Она должна быть меньше при этом, так как имеет право применять приближенное дифференциальное уравнение криволинейной оси, т. е. что она меньше единицы (18.5).
В уравнение для R включить момент инерции J6p=Z2F6p очень rbr тогда _RK^E J6p_O K — ^R-G-E6r. Интеграл a остается неопределенным, и вы можете найти его, если это уравнение синусоиды с-y стержня) V С= = З / 2 (То есть, средняя длина П\ х, Фигура. 554. Най.- Д (33.12) Таким образом, критическое напряжение стержня из заданного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к минимальному инерционному радиусу его поперечного сечения. G26 проверка сжатых стержней на устойчивость[глава XXXIII Коэффициент эго X=Z / z называется гибкостью стержня и играет очень важную роль во всех испытаниях сжатых стержней на устойчивость. Из Формулы (32.12) видно, что критические
напряжения тонких и длинных стержней очень малы при основном допустимом напряжении на прочность[а]. Итак, для прочности на растяжение стали 3 ов^4 0 0 0 км! Допустимое напряжение может принимать[o]=1 [0кг]см * \критическое напряжение гибких стержней X=150 модуль упругости материала E=2 * 106кг) см * °=GS-T11o равно) 2 0’=кг[см * 1600 Поэтому, если область сжатия стержня, обладающего такой гибкостью, выбирается только по условиям прочности, стержень может разрушиться от потери устойчивости линейной формы.
Смотрите также:
| Коэффициенты условий работы и коэффициенты надежности | Кинематически возможные состояния. |
| Расчет на прочность при изгибе | Работа внутренних сил |
