Предел монотонной функции от натурального аргумента

Предел монотонной функции от натурального аргумента

Предел монотонной функции от натурального аргумента. Теорема существования пределов приведенных до сих пор функций обладала этим свойством. Предполагая, что предел существует в одной функции, существование предела было установлено в других функциях, так или иначе связанных с первой. Оставьте решение этого вопроса в общем виде до§ 4 и подумайте о простых и важных функциях конкретного класса, которые могут быть легко решены here. As всегда начинайте с самого простого случая-функции xn натуральных аргументов. Переменная xn называется увеличением, если: * ^ 1 ^ ^ хп + х..） То есть, н? если следует, > п, хп> ^> хп.

Вопрос о существовании конечных пределов некоторых функций не ставился, независимо от других функций. Людмила Фирмаль

• Следующих случаях называют не уменьшает… xphp + х То есть, если только xn η (в зависимости от случая) xn> ^ xx или Хп » ^ Хп. Все эти типы переменных изменяются с увеличением n в одном направлении и объединяются в монотонное общее название. Обычно этот тип переменной называют «монотонно возрастающей» или «монотонно убывающей».» Одновременно с переменной xa, в зависимости от естественного указателя и последовательности ’Л’ Ци Х％ Подходящее значение также называется увеличением или уменьшением. Для монотонных переменных справедливы следующие теоремы. Дает монотонно возрастающую переменную xn. Если он находится в вышеуказанном диапазоне： xnmm (соп = SOP ^® 1; N=1, 2, 3,…）、 Неизбежно существуют конечные ограничения. Точно так же всегда существует предел переменной xn, которая монотонно уменьшается.

Если он ограничен: в противном случае предел-oo*). Proof. It ограничивается случаем, когда переменная xn увеличивается, по крайней мере в широком смысле(она также исчерпывается, если переменная уменьшается). В тексте теоремы вместо монотонной переменной xn можно говорить о монотонных последовательностях. Во-первых, предположим, что эта переменная привязана к вершине. Тогда, по теореме n°6, множество{xn \это значение должно также иметь (конечную) точную верхнюю границу. с = ВИР {хп}; Как показала практика, именно этот номер, что ограничивает переменную хп.

• В самом деле, вспомним характеристики точного верхнего предела[6|.Во-первых, для всех значений n. Во-вторых, каким бы ни было значение e ^> 0, такое значение существует. переменные вне-е Ху〜> А —Потому что если принять во внимание монотонность переменной xn (здесь она зависит от этого впервые), то в случае xn a-e, то неравенство \ xn-a / 4 или более поздняя версия Отсюда, ntdgya = а. Здесь мы предполагаем, что переменная xn не ограничена вершиной. Тогда, независимо от того, насколько велико число E ^> 0, есть по крайней мере 1 переменное значение больше, чем E. hk \ view n > монотонность переменной xn в случае n * Л> Е、 Это означает, что он d7l = | oo. Замечания. Существование конечных пределов монотонных переменных в первой половине прошлого века было обычным делом.

Необходимость строгого доказательства этого утверждения, имеющего принципиальное значение, была, по сути, одной из причин создания арифметической теории иррациональных чисел. 1It добавляет, что приведенное выше утверждение полностью эквивалентно свойству непрерывности вещественного множества[n * 5]. Давайте рассмотрим пример применения теоремы. Образцы. 1) рассмотрим формулу (отсчет от 0 cl \ ’ Куда! = 1> 2 ^ в> I представляет собой неопределенность вида С И Хп + 1-7г + Т хп ’ Затем, только n> с-1, то переменная будет уменьшаться. В то же время, оно ограничено снизу, например, на ноль.

Легко понять, что все выводы остаются верными для переменной и монотонно только начинаются в определенном месте (потому что вы можете отбросить любое число ее начального значения, не затрагивая предел переменной). Людмила Фирмаль

• Поэтому переменная xn-по теореме-имеет конечный предел, обозначаемый А. Чтобы найти его, перейдите к указанным выше пределам равенства. Если вы запускаете последовательность тех же значений, что и LSA + / xn (до первого члена), и имеете то же ограничение q、 а = а * о、 Отсюда до 0, и, наконец,、 Шах. НТ −7 =0.Л! 2) посчитайте снова с> 0 и определите xn как: ДС= / 7, ДГ.= / с + / 7, х,= \ ^ х + \ / х + Йс,… И вообще хп = г. + + с + … + США. В N корни Таким образом, xn + 1 получается из xn по следующей формуле: Хп + 1 = В С + Хп. Понятно, что переменная xn увеличивается monotonically. At в то же время, например, он ограничен сверху числом V e + 1.In факт, xx = V c меньше этого числа. Здесь, предполагая значение xn с Y c {1, следующее.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Неопределенные выражения.	Лемма о вложенных промежутках.
Распространение на случай функции от произвольной переменной.	Предел монотонной функции в общем случае.