Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра

Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра

Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра. Если все множества конечных линейных комбинаций элементов плотны к X в смысле данного семинора, то вспомним, что система элементов & = { * » }, ae31 называется полной в семинорном пространстве X (§ 57.6). другими словами, для каждой лексики e 0, если есть элемент hak e n числа Kk, система является полной. k= 1, 2,…м 1Т второй Х ^ хак 8. * = 1 II Определение 3.Полунормальное пространство X называется вложенным в полунормальное пространство Y, если оно равно 1. 2°) существует постоянная c0 такая, что она имеет Неравенство для любого x∈BX II х ЦУ = = с || х!*. Константа, равная 0, называется встроенной константой. Вложение пространства X в пространство Y、 Вау. Если XtY и Y это Hesh 2,Вы можете легко проверить.

Обратите внимание, что при вложении (58.13) и (58.14) вложенное пространство плотно упаковано во вложенное пространство. Людмила Фирмаль

• Из леммы 3,§ 57.4, мы можем видеть, что вложение происходит на любом интервале. Яр[а, б]шКи[а, б]、 Ljp успешно [А, B] $ $ [А, B] ДСМ [А, B], 1″= п + оо. Здесь, во 2-м вложении, пространство Hp [a, b] 55 [a, b] рассматривается в норме||. * !», То есть с нормой пространства 5[a, b . Если вы ограничиваетесь только 1 непрерывной функцией, 2-е вложение означает вложение С [А, B | КПК [а, B], 1 = ^ р 4°-(58.13） Итак, если ρ= 2, вспомним, что пространство Cb2 [a, ЩЩ вложено в пространство 6 конформно] (см. (57.52)） 58.3.Целостная система 47© Мы получаем еще одну инвестицию С [А, B] Вт [а, B]. 58.14） Для (58.13) это просто выводится из того факта, что множества точек в обоих пространствах совпадают, а для (58.14) это выводится из теоремы§ 57.10 6.

Лемма 3.Если в системы o = {ХД}, aeE1 полно в субнормальная пространства X, то пространство X вкладывается в субнормальная пространство Y и множество X плотно в субнормальная Y в этом пространстве, то система полна в Ю. Доказательство. Возьмем любой элемент y> Y и любой e 0.Принимая во внимание плотность множества X в пространстве X, существуют такие элементы x e X, как: 1У-х \ \ г〜. Поскольку система П полна в пространстве X, существует конечное множество таких элементов и число Kk. к= = 1, 2,…, т и так далее 1 *-2 ^ Кхай 2? | А = 1 Х 2 ^ хак Три е Два. Итак, для первого выбранного элемента u т. В 2 ^ хак к = 1 ■ Лу У ^ 8.8 Т + Г-Е к = 1 Где c0-вложенная константа X w Y. С этим вложением (см. Определение 3).

• Это U. D означает плотность системы O в пространстве Pr и измерения. 1.Система степеней 1, х, Х2,…на хп…(58.15)） Он полон пространством C [B, b], Cb [a, B\, 1 p + Oo и[a, b]в любом сегменте[a, b].фактически, из-за теоремы Вейерштрасса(см. теорему 8 55.8) указанная схема мощности полна в пространстве C [a, b]и, согласно (58.14), она вложена в $ 58.Стабильности и расширения Четыреста восемьдесят Введите пространство T, 2 [a, b] и плотно в it. So, с Леммой 3 в этом разделе Система ордеров (58.15) полностью находится в пространстве b2 [a, b]. С той же Леммой эта система также полна в любом 1 пространственном Cp [a, b], потому что C [a, b]встроен в Cp [a, b]и плотнее (см. (58.13)).

Обратное неверно. Например, система степеней (58.15) образует полную линейную независимую систему в Банаховом пространстве C [a, b], но не является ее основой. Функции в пространстве C [a, b]/ ОО Разберите в соответствии со степенью системы(58.15).То есть f (x)= 2 ap. xn、 н-0 Это означает, что записанный степенной ряд сходится равномерно к интервалу[a, b].таким образом, функция/аналитична в интервале(a, b).Таким образом, ясно, что последовательные функции с интервалами[a, b]не могут быть выражены в указанной форме. 2. Система Ле-Жан-д’’olympic По(х)= 1, РП(х)=Щ (58.3） Пространство C [a, b], c1p [a, 6], 1 является полным с ^ p + oo、 X, 2[a, b]сегменты [a, b].

Обратите внимание на то, что все основания норм линейного пространства явно являются полностью линейными независимыми системами. Людмила Фирмаль

• Это сразу следует из того факта, что полином 3 (x) является линейной комбинацией полиномов лежандля (см.§ 58.1). НХ)= ^ XkPk(х). (58.16)） 6 = о Так, если система образования (58.15) идеально подходит в квази-норма пространства X, т. е. для любого элемента/ Ex и любого е 0, Л / С? Полином типа 2 = (} (x), то (58,16) благодаря / «2 КР 8. Я * = 0 || Это означает полноту полиномиальной системы Лежандра в пространстве X. 3.Подпространство пространства непрерывной функции C [i, i] обозначается C * [i, i].оно состоит из функций, которые принимают одинаковое значение на обоих концах отрезка[—i, i]. /(я)-/(я). (58.17） Тригонометрическая система (58.2） 1, C08X, 8ШX,…,0808ПХ, 8ЮПХ,…、 58.3.Целостная система 481. Он полон пробелами C * [i, i] и b2 [i, i].Полнота тригонометрической системы в пространстве C * [I, I]была доказана ранее. См. теорему 55.8 7. C [i, i] обозначает подпространство пространства C * [i, i].

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Ортонормированные системы.	Ряды Фурье.
Ортогонализация.	Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.