Ортогонализация

Ортогонализация

Ортогонализация. Пусть X-гильбертово предварительно космос. Рассмотрим следующие вопросы. Элемент XN в пространстве X, n = 1, 2,…Мы предполагаем, что линейная независимая жизнеспособная система является given. It необходимо приобрести его с помощью конечной линейной комбинации§ 58.Их регулярн-линия основания и расширения 473. Ортогональный system. It оказывается, всегда есть решение этой проблемы. Теорема 1.Фото: Joshua Roberts / PA ХП, где N = 1, 2,…(58.4） Пространство X-линейная независимая система элементов. Элементы этого пространства yn, ynO0, n = 1, 2,…Конечно, существует ортогональная система, в которой каждый элемент yn, n-1, 2 является первой линейной комбинацией из n элементов системы (58.4). УП = 1 * 1 + Ал、2 * 2 +•••+» л. л * л-(58.5）

Построение ортогональной системы в форме (58.5) из линейной независимой системы обычно называют процессом ортогонализации системы. Людмила Фирмаль

• Доказательство. тип y \ = xx. система (58.4) является НЛО (причиной), потому что она линейно независима. Попарно ортогональные элементы ynΦ0, n-1, 2, удовлетворяющие условию (58.5)…предположим, что существует k, 1.Все yy, в следующем формате… найдите элемент Ык + X, который является ортогональным к YK Ум-п * + 1.1#1 +••+ P * + 1, kUk * A + 1-(58,6） Из условий ортогональности (Интерфейс Системы)=.-=(Великобритания, uкл)= 0(58.7） Мы получаем (ИБ#0 П / 1ч-1,1 =(#1, ХК + г••• * (Ык Ык) ПН + 1,к = {Ык * г + 1)-(58.8） Это позволяет получить коэффициент P * + 1,…K = 1, 2,…, K определяется однозначно, и найденные коэффициенты P * + 1, R, γ= 1, 2k задаются в представлении (58,6), включающем элемент YK±b условный(58,7). (58.6) yn, N = 1, 2, как описано формулой (58.5)…подставьте выражение K.

После приведения подобных членов, получим Сердце= aM,1 * 1 +•••+ am, khk-** + 1-(58,9)） Это будет yk + xΦ0.Потому что в противном случае элементы * b•***, * * + 1 будут линейно зависимы. Тс Замечание. Элементы X rn, rn0, n-1, 2,…Если ортогональной системой системы является также каждый элемент rn-это линейная комбинация первых n элементов системы (58.4). .. ..БТЛ, Н * Л, П = 1, 2,…(58.10)） В этом случае элемент rn отличается только элементом yn и числовым элементом kpf 0.%Н » ^ nUpn П -\, 2,…. 58.2.Ортогонализация 477. Давайте докажем это. б (α,…система элементов α, По ООН)…, показывает линейный пролет ООН (см.§ 57.2). Б (Х1,…в ХП), элемент Х1,…, xn-размерное пространство, образующее основание (см. также 57.2). Элемент y, -, 1 = 1,2,…((2 каждый、-、1 = 1、2、…..) .

• Линейно независим, и I =(xi …в результате элемент y {, / = 1, 2,…», «И элемент r、-、/ = 1、2、….«Кроме того, пространство B (Х1,…основа xn). 。Поэтому я(ХХ,…хп)= б(ый…, yn)= 1(21, 2n), α= 1, 2 Элемент y∈L (xx,…хп) является подпространством в(г,…, Уя + 1)= б (Х1,…в х.-х).То есть, он ортогонален каждому элементу этого подпространства. 。Однако элемент 2le ^(xx,…, xn) подпространство b (rx, * * * rn-1)= 7 (xx,…xn^) ортогонально. Таким образом, » размерное пространство 7 (xi …элементы yn и rn ортогональны одному и тому же («-1) мерному подпространству. B (xx xn-x), поэтому она пропорциональна. рН = х » г»、 КФО, Н-1, 2,…(Почему?） Также、 7.(xX9… 1 Xn) 7.(1/1″•• * я 1 / л) » п = = = 1″•*• Бесконечная система (53.4) и линейная оболочка (58.5) совпадают. Далее рассмотрим систему степеней X. 1, х, х%,…, хп,-(58.11).

Система линейно независима от любого интервала (конечного или бесконечного). Конечно.、 АО ч-Ахльч -… Ч-Alkhl = 0, (58.12） И чтобы отличить эту идентичность, » как только мы «!И » = 0、 То есть, Al = 0. АИ + 1 = … Если уже доказано, что = An = 0, то тождество (58.12) принимает вид: А0 Ч » П \ Х -… Ч * с ^ дх = 0. Если вы дифференцируете его k раз, вы получаете A * = 0.Следовательно, А1 = … = Al = 0, функция 1, x,…хп означает линейную независимость. Поскольку функции системы (58.11), рассматриваемые в одном интервале[a, b], принадлежат пространству C [a, b] (см. Пример 57.4§ 7), в этих пространствах существуют Cb2 [a ,b1, и b2, и [a,&] (см.§ 57.10) бесконечные линейные независимые системы.

Таким образом, указанное пространство является бесконечным измерением. Людмила Фирмаль

• То есть, очевидно, нет базы, состоящей из конечного числа элементов. 478§ 58.Регулярная основа и их развертывание Применение системы с интервалом-1,1 в качестве исходной системы (58.4) к процессу ортогонализации в пространстве b2 [-1,1] (см. (58.5)) дает квадратурную последовательность. Из приведенных выше замечаний следует, что эти полиномы могут отличаться от полиномов Лежандра (58.3), и они также могут быть ортогональными только с определенными коэффициентами.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Пространство L2.	Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра.
Ортонормированные системы.	Ряды Фурье.