Примеры линейных пространств со скалярным произведением

Оглавление:

Примеры линейных пространств со скалярным произведением

Примеры линейных пространств со скалярным произведением. 1.Набор вещественных чисел/?В смысле определения 34 нормальной операцией умножения является также скалярное умножение. В комплексном множестве скалярное произведение чисел x и y есть произведение xy. 2.Вектор Х =(ХІ …, хп)= кН и y =(йн…. yn) (=Kn см. выражение (пункт 18.4 (18.32))） (l. y) =11у1+ … +хпуп Линейное пространство, содержащее скалярное произведение в смысле 57.7, сечение 34.In в этом случае норма элемента xeK совпадает с его длиной μ(см.§ 57.4, Пример 2). 1 * 1 = У = Ух+■.+ Х * н、 И / метрика, соответствующая расстоянию в арифметическом пространстве точек измерения. р(х, г)= 1х-г \ = г(* 1 ярд2 +■+(хп-УП) 2Для этого пространства напомним, что неравенства между Коши и Шварцем ранее были доказаны (см. 18.1 Лемма 1 и 18.4 неравенства (18.39)).

Напомним, что произведение функций, которые могут быть интегрируемыми по Риману в одном интервале, также интегрируемо по Риману в этом интервале. Людмила Фирмаль

В арифметическом комплексном пространстве Cn (см.§ 57.2) скалярные произведения вводятся выражениями (Х, Y)=Ххух-ф-ф -…)Хпуп, X = (ХХ,…€ , Ат;) € = CN, у = (ух… Ун, Ун) € = Сл. 15 Кудрявцев Л. Д. вып. Два § 57.Функциональное пространство Четыреста пятьдесят 3.Пример 8, рассмотрим линейное полунормальное пространство K2 [a, b]в§ 57.4.It состоит из функции квадрата, которая может быть интегрирована (в общем случае неуместно) на отрезке[a, b].Для этого б 5 П(О, А1 + ОО. [А, B]и§Е /?/ ,, [а, 6]. Таким образом, в интервале[E, μ] c = [a, 6], который не содержит особенностей функций/и§(см.§ 55.1), произведение также является интегрируемым по Риману, и поэтому имеет смысл рассматривать некорректный Интеграл (57.29).

Кроме того, поскольку x не является сингулярным в функции / или§, неравенство ！/() *)Я -/ *（0 + 8 *（0 * Тогда Интеграл (57.29) сойдется, и даже более абсолютно. Полускалярное произведение этого пространства определяется по формуле (f. g)= H(0y (0 y. (57.30） Легко увидеть продукт полу-бинокля физических свойств Г, 2°, 3°.Получившееся пространство почти скалярным произведением (57.30) также обозначается Н12 [А, B]. Неравенство (57.26) в этом случае можно описать следующим образом: это частный случай неравенства Гельдера в случае p = q = 2 (см.§ 28.4), называемый неравенством Коши-Буняковского*. Семинол, произведенный полуцветным продуктом (57.30), выявлен (57.31） 0.

Очевидное неравенство（）/（/）| -\§ТС)) 21 * *’ В. Я.’Буняковский (1804-1889) русский математик. 57.9.Характеристики линейного пространства со скалярным произведением. Четыреста пятьдесят один То есть он совпадает с семинором (8), который был рассмотрен в разделе 57.4 (Р = 2) примера 57.15.57.4 не является нормой для всех семинолов( 57.15). Однако пример[пункт 57.4, в данном случае Р = ТС/).! ^ А б] Это не только полунорма, но и норма. Возвращает выражение для расстояния между двумя непрерывными функциями/и§в этом пространстве Р(А))=Г § = = Вт /(х) §(х)] 2 DX станции.

Все вышесказанное естественно относится к любому бесконечному интервалу, особенно к функции, определенной поперек оси. Людмила Фирмаль

Но… Сходимость функции в смысле этой метрики уже описал. Например, смотрите результат теоремы§ 55.9 12. Упражнения 21. Пусть X-линейное пространство полуквадратного произведения. Элементы x∈X и y∈V называются эквивалентными, если| / x-y|, 2 =(Λ1-y, x-y)= 0. X, yeX, x e x, yy, X и p-это числа. Определим Xx + py как элемент множества X, содержащего Xx + 14 /и положим (x, y)=(x, y).Докажите, что эти определения верны, то есть они не зависят от выбора элементов x ^ X и yy, и что X-линейное пространство и (x, _y) скалярное произведение в нем.

Свойства нормированных пространств.	Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства.
Линейные пространства со скалярным произведением.	Пространство L2.