Оглавление:
Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье
Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье. Рассмотрим связь между рядами Фурье функции и ее производными. Теорема 13.Пусть функция / непрерывна с интервалом [i, i], f (i)= f (i)、 И НХ)—2 + 2 апко $ РХ + млрд $ 1 ппц. Н = 1 $ 55.Тригонометрический ряд Фурье 382. Если функция / кусочно непрерывна, дифференцируема по интервалу [i, i] (см. Определение 30.2, 1）、 И Г(х) 2-пап-5 * н РХ + НБН С08 ПХ、 Н-1 То есть ряд Фурье производной берется из ряда Фурье самой функции производной формального члена. Пусть будет так ОО Т(х) ту + ^ » С08 ПХ + ПХ 81P. Н-1 Затем, если f (i)= f (i) и интегрируют по частям、 Л А0 = 1 $ Т(0, А = -Г[/(Я)-/(Я)] = 0、 л.; Л, Л, Л, Л. (/’(()§ § N1 CI =/(/) c08n1-ф-С1 (1) 8тп (CI=NBN、 Л л-л-л. Йельский университет Пн = §(0 / / ККЗ=/.({) 8млн-/(я) С05 Н1(я-па,, n = 1, 2,….Я не уверен. В зависимости от гладкости функции изучается скорость сходимости рядов Фурье.
Если эта функция является кусочно-непрерывной дифференцируемой функцией в данном сегменте, она говорит, что она имеет кусочно-непрерывную производную в данном сегменте. Людмила Фирмаль
- Сначала докажите лемму. Лемма 7.Функция/имеет непрерывную производную в интервале до степени K-1 и кусочно-непрерывную производную степени k (k ^ 1)**)、 / (/1 (i)= /(0(i),/ = 0, 1,…к-1、 И давайте посмотрим. И ф(х) г + 2 апсо $ ПХ \ БН млн долларов США. Н = 1 * ’Кроме того, нет никаких предположений о сходимости производных рядов Фурье. * (см. Определение I§ 30.2).Например,\ x \в функции [} (x) интервал[-1,1]имеет кусочно-непрерывную производную, а с точкой x = 0 дифференцирование отсутствует. 55.10. Природа сходимости рядов Фурье Триста восемьдесят три И затем… Ибн\^%, н\ с, 2 И Где rn 0 и ряд Y] e; сходятся. Один.
Доказательство. Если мы применяем теорему 13 непрерывно во времени、 Везде. в =НКАП±,$ Н =±nkbn、 в =±НБН,$ Н =±НКН и неравенство Бесселя по л (55.54） (55.55） (55.56） N = 1 / () (х) −2] ап, потому что в NX +(зл $ м ПХ、 установите en = V-A% + Pp. Из-за неравенства(55.56) ряд^ e «сходится. (55.54)、 Точно так же * = 1. Два Аналогично эта оценка взята в случае (55.55). Я не уверен. Теорема 14.Функция/имеет непрерывную производную до степени k-1 в интервале[-1, π]и кусочно-непрерывную производную степени k (k> 1)、/ 6 ’（-1）= / 1 это очень простое и удобное в использовании приложение. (i),/ = 0, 1,…к-1.Тогда ряд Фурье функции / сходится равномерно и абсолютно к интервалу [i, i]всей функции [/i, i].
- Скважины inx)-5я (х -я)| к-н 2 Где Mm cn-0 (где{cn} числовая последовательность), и 5n (x; /） Я-С Сумма Фурье Порядка n функции/. § 55. Тригонометрический ряд Фурье 334. Итак, в интервале [i, i] оценивается (〜К + ■О \ Р 4 Ф(Х) 5н(х; /)= Во-первых, {u. If} и {^последовательность неотрицательных чисел、 СОСО 2 УК + ОО и 2 УА+°. П-1 п = 1 К ОЭ ОЭ г г 03 2 at E ’ 1 / E (55-57) «=1 «P = 1» P = 1 Фактически, это неравенство получается, как только оно достигает предела из неравенств Коши-Шварца Н ГЫ ГЫ 2 юнон ^ Y и.%Y 2 для L ^°°(см.§ 18.1 и 35.8 ） P-1 g P-1 g P = 1 (Обратите внимание, что неравенство ’(55.57) является частным случаем неравенства от 7, Если p = 2, 35.8 * (35.33).) Доказательство теоремы 14 (55.58） / ( * ) −1″^.2 в somx \ БМ§ 1nmx、 Т = 1П 5г (х, {) = °2-С08 ТХ + $ м р 2 в МХ Т-1 ЦДХ 。 Т * ’ Где же линия (55.59 ^ (55.60） Согласно Лемме Т-1 Конвергенция.
Примените неравенства (55.57) и (55.59) для оценки оставшегося rn (x) ряда (55.58). I GP (X) I 2 aotso8th + 5ot81pth 2-я»т 1 +1 | Т = Л + 1 | м = N + 1 ОЭ Г Так г ОЭ Т = Л + 1; 2 2×5″=2×2© ’ Х2 5561 55.10.Характеристики сходимости рядов Фурье 38d Поставь КП■у, огонь М = N + [ По сходимости рядов (55.60)、 (55.62） Золото и n = 0. П ►СО Далее интервал[m-1, m） т. т-Я. 1. 1,. 1 ^ к т. Так… 1х х-1′.) ху (2/0-1） м-н {[м-н-\〜[м-я н Таким образом, оценка (55.61) означает оценку ОО с т.}о° 2 ^ 2. * ’ (55.63） Окончательно ’У’ 2К-1 Таким образом, из неравенства (55.63) Я » (1 I gp (V)I = 0 (55.62) спасибо、 / 1 = 1, 2、 К-* −2 Я ГП (х)я «с 2 | /» 2-й 2.1 пакет В этом случае бесконечно малый cn не зависит от точки X.
Следовательно, если функция имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке, то в конечном числе точек этого отрезка производной вообще не может быть. Людмила Фирмаль
- Согласно результату теоремы 55.4 член 4 4, ряд (55.58) сходится к функции/(x), поэтому rn (x)= Т / 7 ′ hgk я тхц Т-1 х рисунок 224 -Hx) 5n (x, [), поэтому доказана равномерная сходимость указанных оценок и рядов Фурье. Его абсолютная сходимость также была доказана (см. (55.61） КМ = N-1〜\ Ряд Фурье функции[ряд, состоящий из абсолютных сходящихся, а также абсолютных значений его членов, и даже ряд И В| | | + 1（ т-Я. Сходятся на одной и той же»скоростиК—13 Кудрявцев. Д. т. Два $ 55.Тригонометрический ряд Фурье 386. Теорема 14 показывает.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
