Оглавление:
Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Предположим, что функция абсолютно интегрируема в интервале [i, i] и периодически расширяется до всей вещественной оси на 2π, поскольку удовлетворяет условию f (i)= f (i). 8n (x) как его сумма Фурье, Op (x) как ядро Дирихле, n = 0, 1, 2,…(См. (55.11) и (55.12)). 50(х)+ 5х (х)+(х） ФН(х)= Н + 1 ПП (х)〜б П1 (■*) б… + РП (х) Гэ + 1 ’ i = 0, 1, 2 (55.35)） Рассмотрим среднее арифметическое. Total mn (A) называется N-й следующей суммой Фейера * 1 функции! И Φη (χ) называется следующим ядром Фейера. Из формулы Я 5″(а)= 2 ОП ^ ^ {х)} (х + у) ОИ Я. .. （(55.17). Я 0,1 (х)= 2л $ Ф. ч ( » ) / (*+и) (1.(55.36)） Я. .. Мы изучаем поведение сумма (X), если α°. (см.§ 35.15). Во-первых, изучите свойства ядра Фейера. Лемма 6. Ядро Фейера обладает следующими свойствами: 1°.
То есть мы учитываем сумму рядов Фурье методом среднего арифметического. Людмила Фирмаль
- Функция Φn (x) является даже непрерывным циклом 2n、 PD0)= ^ + 1; (55.37） * Л. фейер (1880-1959) венгерский математик. ■ Икс） С03ПХ / 2л о н о ^0808пхйх-2ПЛ.)О 55.6.Всего 309 рядов Фурье с использованием метода среднего арифметического 2°.Для всех меня ядро Файеля Φ » ( / ) неотрицательно. Фья ( / ) 0; Я-это я. 3°. ^Фя (0 ^ = 4 $ ФЯ (0и= 1; 4°. При 1ph2kp, k = 0,±1,±2 / 1 + 1 Фья(9 =$ Т2 (ge + 1) 8Sh» Результат произвольно фиксированный b, 0; b; l, выполняется равенство НТ Шах» » (/)=0.(55.38） в том числе n * ■6^ I Доказательство. Сначала докажите свойство 1°.Четность, непрерывность и периодичность ядра Файеля вытекают непосредственно из того же свойства ядра Дирихле по формуле.
Лемма 3). Кроме того, Ok(0) k { -, k = 0, 1、 2 тогда ® «=ДГ 2 2 (* +?） к = 0 к-0 Докажите свойство 3°. Я ГП(п-(-1).N + 11 i + 1 а-и я 2 + 2]—2 ■ Я-это я. 5 f ( ’) l» «Tm2N° » OH = 1. Я = 0-Я Потому что ядро Φ ((() четное число、 Я-это я. | / φя(0 ^ = ^αα (0Л= 1. О, боже. Доказанное свойство 4.Это, очевидно, означает свойство 2. для lp2kn, k = 0,±1, r2,…、 Один Я (l + 1) Фп (о = 2оа (0 =2 к-о «В ZS 2,801(th + 2） ^ 501 (*+2)1 О А = 0 2s1Pu =Ц [cO $ & C08 (++1) Φ е = 0 4 ZSh2 4zsh2 2 а = о § 55.Тригонометрический ряд Фурье Триста семьдесят Заметим, что формула (55.37)стремится к нулю I непрерывностью ядра Фейера и переходом от свойства 4°к пределу. 。 о./»1; тах 2 («+1) b I * I 81P2 Один 2 (ge + 1) 8t2 б * Два Доказательство, конечно. Используйте свойство 4°ядра Фейера, чтобы получить: Правая часть полученного неравенства стремится к нулю как η -°°, поэтому оценка вскоре следует(55.38). Я не уверен. Значение. / д-я)= щ).
- Очевидно, что каждая такая функция имеет значение из интервала [i, i]на числовой оси. Он может быть продолжен в 2π циклах в целом. Результирующая функция, показанная в /, является осью/?Он будет непрерывным во всем. Исходная функция / ограничена, как и функции, смежные на интервале. Таким образом,| /(х)| ^ м, Ге [й, у]. Существует константа A4 0 Обзор графика ядра Фейера показан на рисунке. 223.Этот раздел учитывает только непрерывные функции интервала[-I, I] /и принимает равные значения на обоих концах. | /(х) / м, х СЕ /?、 То есть функция / ограничена всей осью/. Кроме того, функция/является осью/?Он равномерно непрерывен throughout. In фактически, он непрерывен на любом конечном отрезке, например[0, 4], и он равномерно непрерывен (см. теорему§ 19.6, 5).
Это означает, что для каждого E0 существует b, 0 b2n, а для каждого x1 [0, 4π], x2 = [0, 4π],| x2-| c b неравенство | /(Х2)-/(х])| электронная. Но, как и любой х [и Х! Существует D-x [[b целое число pit, где Xx = x [-2N[0, 4π], xg-x2—2π[0,4 π]и\ xx-x2 | _6, и периодичность 2π, f (Xx)= f (dx,’), f (x2)= f (D) и f (x) = x (x).） 55.6.Сумма рядов Фурье по методу средних арифметических 371 Это означает равномерную непрерывность функций по всей числовой оси. В следующем случае функция периодически продолжается с тем же символом/, что и продолжение. Теорема 6 (Фейер).
Если функция непрерывна на интервале [i, n] и принимает равные значения на обоих концах, то последовательность ее суммы Фейера сходится равномерно на интервале к самой функции. Людмила Фирмаль
- Если ряд Фурье непрерывной функции в интервале [i, z], принимающий равные значения на обоих концах результата, сходится в определенной точке к значению функции в этой точке. т. л; | ^Фя (9 / (+9＃ * Л-Л Л 5 F»（91 /（）-/（ + 9] Л. б, б. * R $® » CWM-No + 0 | A = 4)+ H + H ’ \ [(х) ФП(х)\ = (55.39)） Доказательство. Продолжить функцию/с интервалом [i, i]и f (i)= f (i). 2π периодически расширяет всю числовую ось H. разность между функцией/и ее суммой Фейера an / (x) оценивает op (x).Результат. Определение любого е 0. Здесь 6 0 выбирается таким образом, чтобы значение непрерывного коэффициента ω (6;/) функции / удовлетворяло неравенству о (Б; /)г. Это возможно потому, что функция / равномерно непрерывна по числовой оси H.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
